皮亞諾公設(Peano axiom)

皮亞諾公設(Peano axiom)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

自然數的皮亞諾公設是數系的發展基礎，它簡要地說明了數學是一種基於公設的邏輯結構。

自然數的理論基礎，是數系發展的邏輯起點，對於十九世紀開始大力追求分析學嚴密化的數學家而言，當然至為重要。不過，這有賴於集合理論的系統性發展以及對於基數(cardinal number) 概念的進一步澄清，而這些都必須等到十九世紀後期康托爾 (Georg Cantor) 的相關研究之後，才開始萌芽。

有關分析學的發展，我們從數學史上追溯，可以發現在十七世紀，微積分連結了面積、體積、曲線之間的研究，也連結了重心與速度、加速度以及力學之間的研究。微積分的發展，最早得力於兩位創建者萊布尼茲以及牛頓之相關工作而展開。在整個十八世紀之間，機械化的算則以及微積分的應用快速地發展，然而，這一門學科的邏輯基礎卻依然不完備，僅停留於依賴直觀的階段。這也導致一些錯誤的發生，同時也受到哲學家與數學家們的抨擊。

十九世紀初期，柯西(Augustin Cauchy, 1789 – 1857)、黎曼(Bernard Riemann, 1826-1866 )、外爾斯特拉斯(Karl Weierstrass, 1815 – 1897) 以及其它數學家們，努力地為極限與微積分的相關理論，建立堅實的邏輯結構。康托爾與他的同事戴德金(Richard Dedekind, 1831-1916) 的研究成果，闡明了實數的概念以及實數與數線上的點之間的關係（亦即實數完備性completeness of real number system），也為整個理論的發展過程，補上最關鍵的臨門一腳。

然而，數系基礎最根本的問題，還是自然數系的建立。這是因為透過少數的基本概念，純邏輯式地建立實數概念的一種方式，便是從最簡單、同時也是起源最早的自然數作為起始點。接著，擴展至整個數系，包括整數、有理數、最後則是所有的實數。

有趣的是，自然數的集合是整個實數系家族之中，最晚得到數學家邏輯地分析與再建構的成員，雖然它也是歷史上最早發展的數類。義大利的邏輯學家兼數學家皮亞諾(Giuseppe Peano, 1858-1932)，假設了一些未定義元素的存在性，進而形式化了關於算術基礎的相關公理，並稱之為自然數(natural number)。這些未定義的元素有「零」(zero) 及未定義的概念「後繼元素」(successor)。自然數有關的所有性質，都可以從這些公設推演而得。

皮亞諾公設如下：

1. \(0\) 是自然數。
2. 如果 \(a\) 是自然數，則 \(a\) 的後繼元素也是自然數。
3. \(0\) 不是任何自然數的後繼元素。
4. 如果兩個自然數的後繼元素相等，則這兩個自然數相等。
5. 如果有一個自然數的子集 \(S\) 包含 \(0\)，同時，也包含 \(S\) 之中每一個元素的後繼元素，則每一個自然數都落在 \(S\) 這個集合之中。

上述的最後公設又稱為數學歸納法原理（principle of mathematical induction），我們平常運用數學歸納法，來證明譬如對每一個自然數 \(n\) 而言，\(1+2+3+…+n=n(n+1)/2\) 都成立時，所依據的就是這個原理，其中除了起點條件（在本例中為 \(n=1\)）的滿足之外，最值得在課堂上大大提醒學生的，莫過於這個所謂的「歸納假設」(inductive hypothesis) 了。此外，在教學時，也必須是當地提醒學生：數學歸納法與一般人所謂的歸納法之不同！

發展皮亞諾公設的第一步，便是為自然數命名。根據公設，\(0\) 存在並且有一個後繼元素，數學家把這個後繼元素稱為「\(1\)」。\(1\) 是一個自然數並且有其後繼元素，把這個後繼元素稱為「\(2\)」，以此類推。於是，次序（order）以及計算（counting）的概念，得以在第一個數字被記錄下的5000年之後，終於邏輯地從皮亞諾的公設發展而產生。今日，有些數學家傾向用「\(1\)」取代皮亞諾公設之中「\(0\)」的角色，不過，這是一種約定（convention），無傷大雅。

參考書目：

1. Bunt, Lucas N.H., Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics, New York: Dover Publications, INC.
2. 比爾‧柏林霍夫 / 佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
3. 齊斯‧德福林 (2011).《數學的語言》，台北：商周出版社。
4. 瑞赫德‧庫蘭特、賀伯斯‧羅賓斯、伊恩‧史都華 (2010/2011).《數學是什麼？》（上）（下），新北市：左岸文化出版社。