斐波那契(Fibonacci)及其兔子

斐波那契及其兔子 (Fibonacci and his rabbits)
臺北市教育大學數學與資訊學系蘇意雯助理教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

本文介紹斐波那契(Leonardo Bonacci) 的生平及其著作，希望讀者得以理解他的《計算書》之創作背景。

一般人（包括科普作者）提及斐波那契時，都會引述以他的名字命名的數列 $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$ 如何與兔子繁殖相關。不過，他的數學著作內容與名字之來源，恐怕就很少人留意。現在，我們就先澄清這兩個問題。

首先，科普作家當然都會提及斐波那契在1202年出版的名著《計算書》(Liber abbci)。然而，這本書一直都被誤解為討論算盤的書籍。這可能是因為它的拉丁文名銜 Liber abbci 直譯成英文，就是“Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的「算盤書」了。

不過，由於“abacus” 的前身“abaci” 在十三世紀拉丁世界「很弔詭地」是指不利用算盤的一種計算方法，因此，史家西格勒(L. E. Sigler) 建議本書的書名，應該譯成「計算書」(Book of Calculation) 才是。有關這一史實，我們不妨注意當時的“maestro d’abbaco” 一詞，是指直接利用印度- 阿拉伯數碼，而非算盤來從事計算的師傅。同時，在十三世紀之後的義大利各個商港城邦內，“school of abaco” 也就是由前述師傅傳授這種計算技藝的專門學校。

事實上，在西歐數學史上，《計算書》率先介紹印度- 阿拉伯數碼及其（運用筆算的）演算法則(algorithm)，其中根本看不到算盤之類的計算器。我們不妨求證於本書第一章開宗明義的頭兩句話：「九個印度數字為：$$9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$$。就像下文將要演示的，任意數目，都可以利用這些以及（阿拉伯人稱作“zephir” 的記號）$$0$$ 寫出來。」

還有，只要細按本書內容，即可得知它是一部有關十三世紀算術、代數與解題的百科全書。它在十三世紀西歐數學史上的意義，當然遠遠地超過所謂「斐波那契數列」(Fibonacci sequence) 之盛名。後者在數學普及書籍中的廣為傳頌，雖然讓斐波那契聲名大噪，但是，相形之下，十三世紀的西歐數學面貌，卻始終藏在長夜漫漫的中世紀世界之中，無法現身提醒我們它與近代（十六、七世紀）西方數學的連結。

另一方面，斐波那契(Fibonacci) 一直都不是「斐波那契」，他在1170年生於比薩，在他的著作《花朵》(Flos, 1225) 中，他稱他自己為 Leonardo Pisano Bigollo。沒有任何直接證據顯示他的正式名稱與「斐波那契」有關。以「斐波那契」代替 Leonardo Pisano 似乎是1838年由數學史家 Guillaume Libri 開始，此後便約定俗成，沿用至今。事實上，如果你在當時要尋找斐波那契這個數學家，必定是徒勞無功的。

世人對斐波那契所知非常有限，在獻給中世紀學者史高特(Michael Scott) 的《計算書》的開頭裡，斐波那契給了我們一段簡短的自傳：「在我父親被祖國比薩派任到布吉亞（Bugia）的海關，為常常到那裡的比薩商人辦事時，我跟隨他到了那兒。父親要我學習印度-阿拉伯數碼和演算。我非常沉迷於學習，以致於後來當我商務旅行至埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地時，我仍持續地研讀數學，並參與當地學者的討論和爭辯。回到比薩後，我以十五章的篇幅組成了此書。這本書裡包含了印度、阿拉伯和希臘的方法中我所認為最好的。我也放進了證明，讓讀者和義大利人民有更進一步的了解。如果偶而我或多或少疏忽了任何適當或必要的事情，我懇求您的寬恕。因為沒有人能無過，並在所有事物上都考慮周詳。」

在這本著名的《計算書》中，斐波那契使用了一般的字母代替未知數，例如res代替未知數，census代替平方。雖然他並沒有用現代的符號，來對方程式進行運算，但依循著作品中的字句描述，我們可以直接轉換成現代的方程式，這讓人不禁對斐波那契在處理代數運算時，所使用的心理視覺基模感到驚訝。

同樣的，這種寫作方式，也出現於另一本較少人知的著作《平方數之書》(Liber quadratorum, The Book of Squares)。在本書所含的24個命題中，斐波那契對不定方程式的興趣於《平方數之書》中展露無遺。斐波那契在1225年完成本書，並呈獻給神聖羅馬帝國皇帝—菲特烈二世(Frederick II, 1194-1250)。史家認為這是斐波那契最高深的一本書，也足以代表斐波那契身為一位數學家的最偉大的成就。但是，之後《平方數之書》就失傳了，人們只能從佩西歐里(Luca Pacioli) 的《算術大全》(Summa, 1494) 中看到書中的片段。一直到19世紀中葉，史家才在米蘭的圖書館發現《平方數之書》的手抄本。

在《平方數之書》的序曲中，斐波那契首先說明了他寫這本書的緣由。當他回到比薩之後，遇到了宮廷哲學家約翰(John of Palermo)，此人向他提了一個問題，也就是本書命題17：「找一個平方數，使其加 $$5$$ 或減 $$5$$ 都為平方數。」斐波那契找出問題的答案後，經過整理與反思，他發現解的本身以及很多其他的問題，都可由平方數或與平方數有關的數產生。

後來，當他聽到宮廷那兒有消息傳來，提及菲特烈二世對他的著作感到興趣（似為《計算書》），曾加以閱讀並和學者討論。斐波那契馬上想起了前面的問題，並立刻著手寫成了《平方數之書》獻給菲特烈二世。這位帝王以好學著稱，他相當熱衷學術活動也予以大力贊助，所以，在他的宮廷裡總是包圍著一大群飽學之士。無怪乎斐波那契為何急於要獻書給這位皇帝了。

從HPM（數學史與數學教學之關連）上來考量，由於《平方數之書》裡面的命題有些有前後的關連，有些過於艱深富技巧，因此，若教師想運用此文本於課堂教學，必須做些篩選。譬如命題12：「若兩數互質其和為偶數，如果把兩數及其和三者的乘積再乘上大數減小數的值，所得到的數將是 $$24$$ 的倍數」，筆者認為難度適中，就是個教學上不錯的選擇，謹供各位讀者參考。

參考書目

1. 洪萬生 (2006).〈十三世紀西歐數學百科全書：斐波那契的《計算書》〉，洪萬生，《此零非比０》（台北：台灣商務印書館），頁123-137。
2. 紀志剛 (2008).《計算之書》，北京科學出版社。（譯自Sigler (2002)）
3. Fibonacci, Leonardo Pisano (1987). The Book of Squares. (tr. L. E. Sigler) New York: Academic Press, Inc.
4. Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Fontana History of the Mathematical Sciences. London: Fontana Press.
5. Sigler, L. E. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. New York/Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag.