位值計數系統（Positional numeration system）

位值計數系統（Positional numeration system）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

本文介紹位值記數系統的意義。

所謂的位值計數系統，必需滿足下列的條件：

1. 任何比 $$1$$ 大的自然數都可以用來當作基底 (base )。
2. 對於所有小於基底的整數，需要有一組互異的對應符號（當然包括 $$0$$）。譬如在以 $$10$$ 為基底的十進位值記數系統中，顯然需要一組包括 $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ 和 $$9$$ 等數碼符號。
3. 乘法位值法則 ( multiplicative place- value principle )：被寫在特別位置的位數（digit）表徵了這個位數所代表的數目（number）與對應於該位數的位置之基底的乘冪之乘積。譬如，$$3152$$ 中的位數 $$5$$ 即是代表了 $$5$$ 與 $$10^2$$ 之乘積，因為 $$5$$ 是十位數，所以基底 $$10$$ 必須取 $$2$$ 乘冪。
4. 加法法則 ( additive principle )：一個給定數碼所表徵的數目，即為 $$(3)$$ 之中所有乘積之總和。
5. 延拓此一系統以包含分數的想法。
6. 使用符號 (一個點或逗號) 來區別任一個數碼的整數部份與分數部份之想法。譬如 $$3+(1/10)$$ 可以表示為 $$3.1$$ 或 $$3,1$$。

根據史書記載，德國數學家萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz , 1646 – 1716) 是第一位將位值計數系統一般化的人。不過，英國人哈里奧特 (Thomas Harriot, 1560 – 1621) 最近被認為可能更早討論過這些概念，並且寫在未被出版的日記中。

萊布尼茲特別感興趣的是，以 $$2$$ 作為基底的二進位制。在這個系統中，各位置依次代表了$$2$$ 的連續乘冪。因此，

$$1011_2$$

代表的是：$$1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1$$，

也就是等於 $$11$$。下表之中，展示了整數 $$1$$ 到 $$7$$ 的二進位制表示法。這說明了一個事實，在二進位制當中只需用到兩個位值符號，$$0$$ 和 $$1$$。任何整數都可以只用 $$1$$ 和 $$0$$ 來表示。

從二十世紀中葉之後，由於電算機的重大發展，二進位制遂成為眾所矚目的焦點，從而不同位值制（特別是十進位制與二進位制）之間的互換，也就是數學教師的基本素養了。

參考書目：

1. Bunt, Lucas N.H., Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics, New York: Dover Publications, INC.
2. 比爾‧柏林霍夫 / 佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。