圓的度量與π的故事

圓的度量與 $$\pi$$ 的故事 (Circle measurement and the story of $$\pi$$)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

本文主要介紹圓周率的發展史，前半部尤其側重它的精密逼近圓之度量的關連。

$$\pi$$ 有一段長遠且多樣的歷史。這個符號一開始並不用來表示數目，它只是一個希臘字母，對應英文字母中的 $$p$$。不過，現在它所代表的這個數目，在古希臘時期即已廣為人知。

在很久以前，古希臘甚至更早的人們早就知道圓有一個特別的、有用的性質：任一圓的圓周除以它的直徑，總是得到一個相同的數目。如果我們同意把這個數目稱為 $$\pi$$，那麼，這個事實就可轉換成一個熟悉的公式：$$C=\pi d$$（其中 $$C$$ 為圓周，而 $$d$$ 為直徑）。換句話說，任何一個圓的圓周與直徑之比都是相同的。另一方面，古時候的學者們也早已知道：圓的面積總是等於這個常數乘上以半徑為邊的正方形面積，也就是圓面積 $$A=\pi r^2$$（其中 $$r$$ 是半徑）。

從輪胎、齒輪到鐘錶、火箭和望遠鏡，圓形對於人類建造和使用的物品而言相當重要。但是，準確地來說，$$\pi$$ 是多少呢？從歷史的觀點來看，「準確地」在此是一個讓人迷惑、困擾的字眼。正確求出 $$\pi$$ 值的方法，對人類來說一直都是個迷團；不同文明中的人們千百年來一直努力在探索這個迷團，譬如說吧，

1. 約西元前240年：阿基米德證明它介於 $$3\frac{10}{71}$$ 與 $$3\frac{10}{70}=3\frac{1}{7}$$ 之間。
2. 約 480 年：祖沖之使用 $$\frac{355}{113}$$ 為近似值。
3. 約530 年：阿耶波多使用 $$\frac{62832}{20000}$$ 為近似值。
4. 約1600年：它的十進位小數值已經計算到 $$35$$ 位數。
5. 1706年：第一位使用希臘字母 $$\pi$$ 稱呼這個數目的是英國威廉‧瓊斯。歐拉在他 1730-1740 年代出版的文章中，使用這個符號，到該世紀結束時，它已經成為這個常數的普遍名字了。
6. 1873年：威廉‧尚克斯徒手計算 $$\pi$$ 的小數位數到 $$607$$ 位數，總共花了他超過 $$15$$ 年的時間。從第 $$527$$ 位小數之後的數字不正確，但是，卻有近乎一世紀之久沒有人發現他的錯誤！
7. 1949年：馮紐曼（John van Neumann）使用美國政府的ENIAC電腦計算 $$\pi$$ 到小數點後第 $$2034$$ 位數（在 $$70$$ 小時之內）。
8. 1987年：東京的金田康正教授使用超級電腦 NEC SX-2，計算 $$\pi$$ 到小數點後 $$134,217,000$$ 位數。
9. 1991年：楚諾維斯基兄弟使用在自家紐約公寓製造出的超級電腦，花了 $$25$$ 小時計算 $$\pi$$ 到小數點後 $$2,260,321,336$$ 位數。
10. 1999年：金田教授的團隊計算 $$\pi$$ 到小數點後 $$206,158,430,000$$ 位數。這個位數比楚諾維斯基兄弟所發現位數的 $$90$$ 倍還要長。按單行的一般印刷來看，它比 $$250,000$$ 哩還要長—長到足夠到達月球了。

然而，這些結果沒有一個是 $$\pi$$ 的準確值。大約在1765年，德國數學家藍伯特（Lambert）證明了 $$\pi$$ 是一個無理數，還有，在1882年，林德曼（Lindemann）更是證明了它更是一個超越數，亦即它不是代數方程式的根，從而解決了「化圓為方」尺規作圖的不可能。

現在，既然是無理數，它就無法準確表達一般兩個整數的比之形式。同時，無論計算到多少位數，都沒有小數的表徵形式可以等於 $$\pi$$ 的準確值。但是，只要我們有足夠的耐心和努力，就可以逼近 $$\pi$$ 到我們所需要的任何位數。

事實上，對於一般實用的目的而言，只要少數幾位小數就已然足夠，那些在十進位小數發明之前的許多近似值，也一樣已經足夠使用。為了闡述這一論點，我們可以拿上述所列歷史上使用過的 $$\pi$$ 的近似值，用來計算一個直徑恰為 $$1$$ 公里（約 $$0.62$$ 英哩）的圓形湖泊的圓周長，將其結果與用現代計算器所算出 $$\pi$$ 近似值作一比較：

這些近似值對於湖「真正的」的圓周長而言，也只是缺少了相當不重要的量而已。所以，為何人們要自尋苦惱地去計算 $$\pi$$ 的近似值到小數點後千位、百萬位或是億位數呢？在花了那麼多的時間和努力之後，有任何可能的價值存在嗎？也許真的有吧！

有關無理數，還有許多我們無法解答的深層的問題存在，在這些不循環的位數序列中，有沒有更精細的某種模式存在？十個印度‧阿拉伯數碼出現的頻率都一樣嗎？或是有某一個位數比其他位數更常出現？有沒有某一（串）位數列以某種可預期的形式出現呢？

我們甚至沒有足夠的知識，去準確地判斷什麼樣的問題才是值得的。有時候，一個看起來沒有什麼意義的點，可以引領出更廣泛、更新穎的視野。隨之而來的問題，與用來產生這些令人驚奇的位數列的硬、軟體有關：我們應該如何建造才能使它們的容量更大、速度更快，正確性更可靠？獲得 $$\pi$$ 的更多位數之探索，為我們提供了檢驗科技進步的園地。

然而，也許對這樣的堅持，最誠實的解釋應該是人類對於未知的好奇心。在數學上，如同任何運動一樣，征服沒有試過的、未知的挑戰本身即是獎賞。

參考書目

1. 大衛‧布拉特納 (1996/2007)《神奇的π》，台北：商周出版社。
2. 比爾‧柏林霍夫 / 佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
3. 陳仁政 (2005).《說不盡的π》，北京：科學出版社。