ICMI的第一任主席克萊因（Felix Klein: The first president of International Commission on Mathematics Instruction, ICMI）

ICMI的第一任主席克萊因（Felix Klein: The first president of International Commission on Mathematics Instruction, ICMI）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

所謂的 ICMI 是國際數學教育組織，每四年召開一次全球性的國際數學教育會議（International Congress on Mathematics Education, ICME）。明年（2012年），此一國際研討會將在南韓召開，是國際數學教育界的一大盛事。

這個組織的第一任主席，就是偉大的德國數學家克萊因（Felix Klein, 1849-1925）。他出任的原因之一，當然有可能是因為他長期關心數學教育，因此，他以大數學家之尊「蹲下去」，應該在國際之間發揮了極大的影響力吧。

克萊因於1849年出生於萊茵河畔的杜索朵夫（Dusseldorf），青少年時代正是德國的資本主義經濟迅束發展的時期，以普魯士為中心的德意志帝國已經形成，經濟實力也趕上了英國和法國。他畢業於杜索朵夫的古文中學（Gymnasium），1865到1866年期間他在波昂大學攻讀數學和物理學，1868年拿到了博士學位。

為了進一步學習，他分別在哥廷根、柏林及巴黎等地遊學好幾個月，直到1870年普法戰爭，他被迫離開巴黎回到德國。1871年初他得到了哥廷根大學的不支薪講師（Privatdozent）職位，1872年他任職耶爾郎根（Erlangen）大學的正教授職位，並在此發表著名的耶爾郎根綱領（Erlangen Programme）。1875年他又轉往慕尼黑 (Munich) 工藝高等學校（Technisch Hochschule）任教，1880到1885年期間則在萊比錫 (Leipzig) 大學擔任幾何學教授。1885年之後，他回聘為哥廷根大學正教授，一直到1925年去世，終其餘生都待在哥廷根。

不過，他的學術生涯中有幾個經歷或插曲，相當密切地關連到他的數學教育改革思維與實踐，因此，我們在此稍加交代。至於有關他的傑出數學貢獻，我們在此必須從略。

1872年，克萊因年僅二十三歲的年紀，便成為耶爾郎根大學的正教授。依照耶爾郎根大學的規定，每一位新進的教授除了就職演說外，還要出刊一份綱領，克萊因便提出了著名的耶爾郎根綱領。在此綱領中，他揭示群論在幾何學研究的重要性，並且利用群的概念將當時幾何學各分枝統一起來，一種幾何學和一種群互相對應，所謂的幾何學就是在所對應的群之變換下，探索圖形性質不變的理論。事實上，他定義一般的幾何學為：「給定一個流形（manifold）及其變換群（transformation group），研究此流形在此變換群作用下，不會改變特性的構形。」

十九世紀下半葉德國的工商業迅速發展。1875年，克萊因轉到慕尼黑工藝高學校任較之後，開始了解到自然科學和工商業對數學的需要，從而體會到發展應用數學的重要性。他在對未來教師的講授的課程中，就曾經包括畫法幾何學（descriptive geometry）、統計學與力學等。此外，1880年他在萊比錫大學的就職演說中，也強調應用數學的重要性。

在哥廷根時期，克萊因和一些自然科學，以及工業界人士共同創立哥廷根協會，來發展應用科學。這個協會在哥廷根創立了許多一流的研究所，使得這個組織成為德國二十世紀初期的主要科學研究中心。事實上，克萊因對於應用數學的關心，往後在他發起的數學教育改革運動中，也充分表露無遺。

1885年克萊因應聘來到擁有高斯、狄力卻雷（Dirichlet）以黎曼（Riemann）等偉大數學傳統的哥廷根大學。自從高斯以來，哥廷根的數學研究便兼重純數學和應用數學的發展，而不同於柏林大學只注重純數學理論的研究進路。1892年，克萊因開始領導哥廷根的數學研究，並且針對其數學、物理學教育制度、教育計劃進行了很大的改革。1895年，他邀聘當時已經頗富盛名的希爾伯特（David Hilbert）來繼承韋伯（Heinrich Weber）的職位。1902年，他向當時的教育部長提議增設一個數學教授席位，請來希爾伯特的朋友、數論大師閔考斯基（Minkowski）來擔任數學教授。克萊因、希爾伯特和閔考斯基三人的數學成就，吸引了許多外國留學生到哥廷根來學習數學，至此，哥廷根已經成為了世界數學中心，並且在數學研究的水準上超越了柏林學派。

克萊因不僅是一位偉大的數學家，還是一位優秀的數學教育家。他所以能夠吸引那麼多的學生來跟他一齊做研究，除了他的聲名遠播之外，另一方面，則是因為他上課的方式很有魅力。他習慣在上課時間的一個小時之前先到課堂上，將他原本準備好的講義重新看過一遍，在自己的心中再整理一遍，等到上課的時候，他有條不紊的將數學式子和圖形列在黑板上，因此，上完課之後，整個黑板所呈現的，是完美的數學結構。對於上課的主題，他會介紹給學生很多可供參考的資料，他教學的原則，是讓學生自己去證明定理，他只提示一些方法，並且認為要學好課程的話，在課堂上一小時，在課堂外就需要花四小時來研讀。

此外，他講課擅長於綜觀全局，「他能在絕然不同的問題中，洞察到統一的思想，並有一種集中必要的材料來闡明其統一見解的藝術。」。而他的學生也同樣提到他的講義寫得嚴謹、確實、清晰和優美，並且以統合的精神為基調，來引進數學知識與方法，深受學生歡迎。事實上，克萊因認為討論班（seminar）可以刺激學術研究，討論班的主要課題，通常是他正從事研究的問題。在討論班上，他那豐富而多采的思想以及處理問題的進路，也完整地傳給了學生。

1892年開始，兩年一次在哥廷根召開的教師自然科學講習班，也包括數學科在內。1895年，數理科學教育促進會的年會在哥廷根召開。克萊因以深入淺出的方法，為該會成員講授古希臘幾何三大問題。1898年成立哥廷根協會之後，在這裏參加講習班的教師們接觸到工業技術的尖端，也學到應用數學和物理學教育和研究的方法。同一年，在克萊因的建議下，該會更新了中等學校教職考核測驗規定，將應用數學從純粹數學獨立出來，從此，應用數學在大學課程的地位逐漸鞏固。

1900年之後，克萊因意識到數學教育改革，除了強化師資的培育工作之外，中學數學課程的改革，也是相當重要的一環。於是，在1900年的學校會議上，由於他的大力主張，普魯士政府強調了應用數學的重要性，並要求中等學校講授微積分和解析幾何。1904年，克萊因對參加講習班的中學教師發表演講，更主張函數概念必須成為數學教學的中心，因此，「函數的思考方法」之說法，便逐漸傳播開來。同一年，自然科學家會議在布雷斯勞（Breslau）召開，由於克萊因的提議而成立數理教育委員會，並委託包括他在內的十二人，寫下在翌年（1905年）米琅（Meran）會議上公布的中學數學課程大綱。它的主要精神如下：

1. 教材的選擇與安排，應適應學生學習心理的自然發展。
2. 融合數學的各個分支，密切與其他各學科的關係。
3. 不忽略邏輯訓練，實用方面也應置為重點，以便充分發展學生對自然界和人類社會諸現象之數學觀察能力。
4. 為達到此等目的，應養成函數思想和空問觀察的能力，作為數學教授的基礎。

為了聯繫初等數學課程和高等數學之間的關係，1908年克萊因出版了他的數學教育名著《從高觀點看初等數學》(Elementary Mathematics from an advanced standpoint)，其內容就包括了他的數學教育思想。

這些身體力行、現身說法的成就，使得克萊因也在數學教育領域內成就了非凡的事業。1908年第四屆國際數學家大會（ICM）在羅馬舉行，會上正式通過一項提案，決定成立國際數學教育委員會（International Commission on Mathematics Education, ICMI），第一任主席就是克萊因。從1908到1914年中，在他領導下的ICMI做了大量的工作，這六年累積的各國數學教育情報告、以及在會議上的專題報告，乃是極為寶貴的數學教育史資料，至今仍不失其重要參考價值。

綜觀克萊因有關數學教育的關懷與實踐，都與普魯士時代的歷史脈絡息息相關，當然也離不開哥廷根的豐厚數學傳統，以及他那高觀點俯瞰初等數學與統合各個分支的進路。無論今日的數學課程發展或設計者如何試圖呼應新時代的數學素養與能力，克萊因在百年前所揭示的「函數思想」與「空間觀察」之能力，恐怕還是最合乎中道的主張。

參考書目 ：

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11. Rowe, D. (ed.) (1989a). The History of Modern Mathematics Volume I: Ideas and their Receptions. San Diego: Academic Press, Inc.