0 的發明

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國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

目前數學普及中譯書籍中有兩本與數目 0 有關：《從零開始》與《零的故事》。本文增補其中有關古代中國數學的相關內容。

在數學史上，$$0$$ 可以說是一個相當「年輕」的概念。對很多早期的人類文明來說，譬如古希臘哲學家畢達哥拉斯，數目（number）$$1$$ 並不是數目，而是萬事萬物的根本，頗有一點「道生一」的味道。這種認知並非僅限於哲學家而已，古希臘的歐幾里得 (Euclid) 也不例外，他在《幾何原本》中所定義的「自然數」（或整數，whole number），就是從 $$2$$ 開始的。

後來，$$1$$ 雖然也被納為自然數，但是，代表「全無」的 $$0$$ 概念，畢竟很難從代表「全有」的 $$1$$ 概念發展出來，希臘數學史就是最好的見證之一。平心而論，利用一個「有形的」實體（譬如「$$0$$」）去代表「沒有」或「空無」，的確是人類認知的一大躍進。

試想如果我「沒有」養寵物，那麼，我應該不會說成：「我有『$$0$$』隻寵物」。這或許也可以解釋：何以在十六世紀以前的數學文本中，我們幾乎找不到以「$$0$$」為答案的例題。

事實上，代表「$$0$$」概念的記號，儘管在古巴比倫數學泥版中，曾經被用來填補不同位置數碼之間的「空位」，但是，它卻從來就不曾在最後一個數碼（numeral）之後，因此，從「功能」的觀點來看，它是一個意義不完整的記號。不過，在他們的天文泥版中，楔形文字（cuneiform）的零號，倒是發揮了今日位值中 $$0$$ 號的作用，它不僅表示空位，也指示了數碼的位置。

儘管如此，他們還沒有將零看作一個數目，也未曾將它與「空無」概念連結起來。一旦他們在數學運算中遭遇了零，譬如 $$20$$ 減 $$20$$，就不知道如何表達，只好寫道：「$$20$$ 減 $$20$$，你看！」還有，在討論穀物分配時，如果沒有剩餘，則不用零號表示，而是寫著：「穀物已耗盡！」

另一方面，在數學史上，凡是利用計算器來進行演算的例子，都會利用「空位」，來表示那個位置的數碼付諸缺如。

中國古代的計算器，如早期的「算籌」與後來的「算珠」（在珠算盤上操作），也都不例外。在這種情形下，即使在宋元「天元術」（一種列代數方程式的方法）的「細草」中曾經出現「○」的記號，但由於它用來填補算籌演算過程的數碼「空位」，所以，「$$0$$」概念的運算面向 (operational aspect)，應該是尚未獲得顯現出來才是。不過，一旦十三世紀中國數學家被認為開始使用「筆算」得到證實，則當時中國人對於「$$0$$」的認知，或許就會變得比較成熟。這是因為 $$0$$ 概念的演化與筆算息息相關的緣故。

或許我們應該回顧一下更早的中國人如何認識「$$0$$」這個概念。「$$0$$」在中文中讀如「零」！然則這個漢字究竟有沒有「$$0$$」概念的意涵呢？答案恐怕令人失望！

根據《形音義綜合大字典》中的說明，甲骨文缺「零」字，它最早在「金文」中出現。就文字結構來說，它上從雨、下從令（美好），本意作「徐雨」解，意思是說：「徐雨緩緩降落，澤潤萬物，固與急雨、驟雨之足以傷物、妨農有別，是有美好意，故零從令聲。」由此看來，它的漢字本義與「零丁」、「零雨」、「零落」、「零星」與「零碎」是連結在一起的，完全沒有「空無」的意思。如此看來，此零當然非彼 $$0$$！

根據數學史家研究，$$0$$ 這個數碼是印度人所發明的。在印度數學史上，利用小圈表示 $$10$$ 進位制記數法的零，最晚在公元 876 年已經出現。但是，印度人對於零的最大貢獻，則是最先承認它是一個數目，而不僅僅是空位或一無所有。這種看法早在第六世紀即已出現，當時的天文學家瓦拉哈米希拉 (Varahamihira，505-587) 對零進行了加減運算。

第七世紀，婆羅門笈多 (Brahmagupta，598年出生) 在他的著作《宇宙的開端》中指出：「負數減去零是負數，正數減去零是正數，零減去零甚麼也沒有；零乘負數、正數或零都是零。…… 零除以零是空無一物，正數或負數除以零是一個以零為分母的分數。」這是印度人以零作除數的最早紀錄。後來的兩位偉大數學家馬哈維拉 (Mahavira, 850年) 與婆什迦羅 (Bhaskara, 1114-1185?)，都企圖解決同一問題，可惜都功敗垂成。儘管如此，印度人最早視 $$0$$ 為一個數目，殆無疑問。既然如此，$$0$$ 當然是他們所率先發明的。

$$0$$ 的發明故事看來非常曲折！不管是（記數用的）數碼（譬如楔形文字）中的空白、計算器（譬如珠算盤）中的空位，或是填補空白的記號（如漢字抄寫時的缺字記號□或○），都不能算是接觸了 $$0$$ 的概念。事實上，數字 (number word) 或只作記數用的數碼（譬如香港有一些百年商店仍然使用的蘇州暗碼），都不曾在這樣的脈絡中，參與實際的運算過程。

因此，即使有代表所謂 $$0$$ 的記號出現，當然也很難說它就表徵了一個數目。更何況在「筆算」的脈絡中，既然任何數目都可以作為除數，那麼，$$0$$ 或其相當的記號也不能例外，於是，在此一脈絡中的數學家，勢必面對 $$0$$ 能否作除數的問題。正因為如此，數學史家才會審慎地斷定：在所有的古文明中，只有印度人發明了 $$0$$ 概念。

最後附帶註記：在數學史上，計算脈絡時所依賴的表徵（represent）數目（number）之符記，可能被稱為數碼（numeral）或數字（number word）。

我們認為適當地釐清 number、numeral 和 number word 之區別，相當有助於理解 $$0$$ 的發明故事之意義。

參考文獻：

1. 林炎全 (2000).〈0與沒有〉，《HPM通訊》3(1): 7。
2. 高樹藩編纂、王修明校正 (1980).《正中形音義綜合大字典》，台北：正中書局。
3. 梁宗巨 (1992).《數學歷史典故》，瀋陽：遼寧教育出版社。
4. 羅伯‧卡普蘭 (Robert Kaplan) (2002).《從零開始》 (The Nothing That Is: A Ntrual History of Zero)，台北：究竟出版社。