一次方程式解法

一次方程式解法
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

目前在中學數學課程的一次方程式單元，都涉及數學應用到現實世界的問題。因此，當我們發現歷史上，幾乎學習過數學的每一個人，從埃及的書記到中國的官吏都曾經發展出這類問題的求解技巧時，就沒什麼好驚訝的！

這些求解實質上都採用算術進路（arithmetic approach），也就是，他們都運用了算術的想法，解決實質上是代數的方程式問題。不約而同地，古埃及和古中國數學家都利用了所謂的「虛位法」（method of false position），有所不同地，是古埃及使用「單設法」(method of single false position)，而古中國則使用「雙設法」(method of double false position)。

古埃及的單設法記載在《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus），這份珍貴文本可能是古埃及時用來訓練年輕書記的數學問題集，其中就包含了幾個這類型的問題。其中，有一個簡單的例子引述如下：「有一個量，它的一半和它的三分之一與它加在一起後變成10。」如果運用我們現在的符號來表示的話，它就成了如下的方程式：

$$x+{\frac{1}{2}}x+{\frac{1}{3}}x=10$$

然而，這樣的符號法則直到十七世紀才出現。這個書記被教導該如何解這個問題，就如同我們現在所作的：將 $$10$$ 除以 $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$。

不過，這類問題在《萊因德紙草書》中，卻以一種相當不同的方法來解決，例如針對「一個量，它的四分之一加上它後等於 $$15$$」書記顯然運用下面的步驟，來取代 $$15$$ 除以 $${1}\frac{1}{4}$$：他假設這個量是 $$4$$，（為何是 $$4$$？因為很容易計算 $$4$$ 的四分之一。）如果你將 $$4$$ 和它的四分之一加在一起，你會得到 $$4+1=5$$，所以，我們要的是 $$15$$，但卻得到 $$5$$；我們必將得到的數（也就是 $$5$$）乘以 $$3$$，才能得到我們要的數（也就是 $$15$$）。接著，將我們猜測的數字乘上 $$3$$。由於我們猜測的數字是 $$4$$，所以，答案是 $$3\times 4=12$$。

上述這種樣方法，就是前述的單設法。在斐波那契（Fibonacci）的《計算書》（Liber abaci）中，我們可以看到有關此一方法相當詳盡的舉例說明。這個方法的一般原則如下：我們假定一個答案，並不真的期望它就是正確解答，但是，它可以使得計算容易一點。然後，利用這個猜測所得的不正確結果去找出一個倍數，使得我們猜測的數乘上它以後，會獲得正確的答案。

至於前述的雙設法，就是將單設法延拓，它還是用以求解一次方程式，但是，仍然而沒有代數符號的操作。在解決線性方程式的問題上，這是一個相當有效率的方法，以致於在代數符號法則出現之後的一段很長時間內，仍然被廣泛持續使用。

事實上，由於它不要求任何代數技巧，一直到19世紀，歐美算術教科書還一直教導這個方法，譬如美國出版的《校長的好幫手》（Daboll’s Schoolmaster’s Assistant, 1837）就有如下例題：「將一錢袋中的 $$100$$ 美元分給 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 和 $$D$$ 四個人，如果 $$B$$ 要比 $$A$$ 多 $$4$$ 元，$$C$$ 比 $$B$$ 多 $$8$$ 元，而 $$D$$ 所得是 $$C$$ 的兩倍，那麼每一個人可以分得多少錢？」

應用現代方法來解此一問題，假設 $$A$$ 所得的量為 $$x$$，那麼  $$B$$ 得  $$x+4$$，$$C$$ 得 $$(x+4)+8=x+12$$，$$D$$ 得 $$2(x+ 12)$$。由於總錢數為 $$100$$ 元，可得方程式：$$x + (x + 4) + (x + 12)+2(x + 12) = 100$$。接著，可用一般方法來解決這個問題。

然而，在《校長的好幫手》中，則是推薦如下方法：先隨便猜測一個數字，例如 $$A$$ 得到 $$6$$ 元，那麼 $$B$$ 得到 $$10$$ 元，$$C$$ 得到 $$18$$ 元，$$D$$ 得到 $$36$$ 元。將這些數量加起來，總共得到 $$70$$ 元；如此我們短缺了 $$30$$ 元。所以，再試一次。這一次，我們猜測大一點的數字，例如 $$A$$ 得到 $$8$$ 元，那麼 $$B$$ 得到 $$12$$，$$C$$ 得到 $$20$$，$$D$$ 得到 $$40$$，總共為 $$80$$ 元，這個結果依然是錯的，少了 $$20$$ 元。

現在，神奇的部分來了，列出兩個猜測與誤差的數字。將他們交叉相乘：$$6\times 20$$ 得到 $$120$$，$$8\times 30$$ 得到 $$240$$；將它們相減，$$240-120 = 120$$；將它除以兩個誤差間的差，在此為 $$10$$，於是，$$A$$ 的正確所得量即是 $$120/10=12$$。《校長的好幫手》解釋說：這是當兩個誤差是同類型時（在本例中，兩者都是低估），吾人所採用的步驟與作法。如果它們是不同類型時，我們可以用兩個乘積的和，並且除以兩個誤差間的和。

現代的讀者對這個方法通常會有一點迷惑：為什麼它行得通？也許利用一些圖像思考會是分析它的最好方法。給定方程式 $$x+ (x + 4) + (x+ 12)+2(x + 12) = 100$$，不管等號左邊的式子化簡之後的結果是什麼，這個方程式都會像是 $$mx+b=100$$ 這樣的形式，所以，我們可以將它想像成：有一條直線 ，我們想要決定當 $$y=100$$ 時，$$x$$ 的值為多少。

此時，需要兩個點來決定這條直線，而兩個猜測值給了我們這兩個點：$$(6, 70)$$ 與 $$(8, 80)$$ 都在這一條直線上。我們想要找到使 $$(x, 100)$$ 也在這條直線上的 $$x$$ 值。因為這條被已知兩點唯一決定的直線之斜率固定，所以，所得到的答案 $$x$$ 將會一致的。事實上，在前三點中，任意兩點所決定的斜率一定相等，故有下列方程式：

$$\displaystyle\frac{100-70}{x-6}=\frac{100-80}{x-8}$$ 或 $$\displaystyle\frac{30}{x-6}=\frac{20}{x-8}$$

其中，分子剛好就是我們之前有的兩個誤差。

交叉相乘，得到 $$30(x-8)=20(x-6)$$，化簡得 $$(30-20)x=(30\times 8)-(20\times 6)$$

也就是說，$$\displaystyle x=\frac{(30\times 8)-(20\times 6)}{30-20}=\frac{120}{10}=12$$

這個結果剛好與雙設法的計算過程一模一樣。

當然，我們將方程式理解成直線的具有「現代性」（modernity）的方法，還是相當晚近的事（回溯到17世紀而已），而雙設法卻是非常非常久遠的歷史記憶了。

事實上，這條直線的斜率並不需要真地計算出來，我們甚至不必將這些比值想任何圖像意義上的斜率。我們所需要知道的，只是輸入值的變化與輸出值的變化成比例，而這也就是所謂「線性」的本質所在。這一點古代數學家顯然得以真正體會，而對於今日國內之高中學生而言，也是值得大力推薦的學習題材，儘管他們在國中階段已經熟知一次方程式解法。

最後，我們簡略介紹中國古代的雙設法，聊供讀者發思古之幽情。在公元前186年埋葬的西漢竹簡《筭數書》（由不知名的地方小吏所抄寫）中，有一個例題如下：「分錢人二而多三，人三而少二。問幾何人？錢幾何？」答案：「五人，錢十三。」

至於解法則如下：「贏、不足互乘母以為實，子相從為法。」

按本題的贏母 $$=2$$，贏子 $$=$$ 多 $$3$$，不足母 $$=3$$，不足子 $$=$$ 少 $$2$$。
於是，利用「贏（盈）不足術」（古中國版的雙設法）可得：
原人數 $$=$$（贏子 $$+$$ 不足子）$$/$$（贏母與不足母相減）$$=5$$（人）；
原錢數 $$=$$（贏子 $$\times$$ 不足母 $$+$$ 不足子 $$\times$$ 贏母）$$/$$（贏母與不足母相減）$$=13$$（錢）。

另外，還有一個例題如下：「田一畝，方幾何步？」亦即給定一塊正方形田地，面積為 $$1$$ 畝（$$=240$$ 平方步），求它的邊長。因此，這個問題的求解相當於求 $$240$$ 的平方根 $$\sqrt{240}$$。

非常有趣的是：本書竟然利用「贏（盈）不足術」來求解：
由於 $$15^2-240=-15$$、$$16^2-240=16$$，所以，本題之答案（近似值）為
〔不足子（$$15$$）$$\times$$ 贏母（$$16$$）$$+$$ 贏子（$$16$$）$$\times$$ 不足母（$$15$$）〕$$\div$$〔贏子 $$+$$ 不足子〕
$$= (15\times{16}+16\times 15)/(16+15)=15+(15/31)$$

換句話說，在兩千多年前，西漢地方小吏不僅利用「贏（盈）不足術」，來求解可以化約為一次方程式的問題，竟然也利用同一方法來求平方根的近似值。在世界數學史上，利用上述方法以求平方根之近似值，目前僅見於中國古代這一部珍貴數學文本，這是非常值得注意的歷史現象。

到了東漢初，另一部中國算經《九章算術》則將「盈不足術」列為第七章，給予更加系統性的彙編，因而「盈不足術」遂成為中國傳統數學的正統方法之一。一直到清末，此一方法可以作為算術學習轉向代數學習的一個極佳之過渡，才被數學家華蘅芳注意到，並寫入他的《學算筆談》之中。

參考文獻：

1. Bunt, Lucas N. H., Phillip S. Jones, Jack d. Bedient (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications, INC.
2. 比爾‧柏林霍夫 / 弗南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
3. 洪萬生 (2008).〈華蘅芳與《幾何原本》〉，《科學教育學刊》16(3): 239-253。
4. 洪萬生、林倉億、蘇惠玉、蘇俊鴻 (2006).《數之起源》，台北：台灣商務印書館。