線性組合與坐標系統（Linear Combination and Coordinate System）

線性組合與坐標系統（Linear Combination and Coordinate System）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

摘要：闡述當給定兩個不平行的非零向量，則它們的「線性組合」也就建立了平面上的一個坐標系統。在直角坐標上，我們用某點和原點決定的長方形決定點的坐標，在一般化的坐標系統上，我們用平行四邊形決定點的坐標，而坐標就是線性組合的係數。

任給兩個非零且不平行的平面向量 $$\vec{u}$$、$$\vec{v}$$，透過二元一次聯立方程組，我們發現對任意一個平面向量 $$\vec{b}$$，必存在唯一的一對實數 $$(x,y)$$ 使得

$$x\vec{u}+y\vec{v}=\vec{b}$$

我們說 $$\vec{b}$$ 是 $$\vec{u}$$ 與 $$\vec{v}$$ 的線性組合，而 $$x$$ 和 $$y$$ 是線性組合的係數。
舉例而言，若 $$x=2$$、$$y=-1$$，它們的幾何關係如下圖。

取一組特例，令 $$\vec{u}=(1,0)$$、$$\vec{v}=(0,1)$$，也就是 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 分別是 $$x$$ 軸和 $$y$$ 軸上的單位向量（長度為 $$1$$ 的向量），則根據直角坐標的定義，平面上任一點 $$A(x,y)$$ 的位置向量 $$\vec{OA}=(x,y)$$ 坐標 $$x$$、$$y$$ 就是線性組合的係數：

$$x\vec{u}+y\vec{v}=x(1,0)+y(0,1)=(x,y)$$

現在我們可以明白，直角坐標系統就是一種特殊的線性組合，其中作為「基底」的兩個向量互相垂直而且長度相等（把它們的長度定義為 $$1$$）。仿照直角坐標的方式，我們可以用任兩個非零且不平行的平面向量 $$\vec{u}$$、$$\vec{v}$$，在平面上建立一個坐標系統，稱為 $$uv$$ 坐標系統。作法如下。

首先，在平面上任給兩個非零且不平行的向量 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$，如下圖(a)。注意，此時尚未有坐標系統，所以 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 只是平面上的有向線段，它們還沒有坐標表示法。

將 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 的始點放在一起，令它為點 $$O$$。

做兩條分別以 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 為方向向量且通過點 $$O$$ 的直線。

由 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 所決定的坐標系統，稱為 $$uv$$ 坐標系統；

則點 $$O$$ 是此系統之原點，而上述兩條直線可稱為 $$u$$ 軸和 $$v$$ 軸，如上圖(b)。

固定以原點為始點，則 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 的係數積 $$x\vec{u}$$ 和 $$y\vec{v}$$ 的終點就分別是 $$u$$ 軸和 $$v$$ 軸上的點。

這就使得 $$u$$ 軸和 $$v$$ 軸各成為一條數線，而它們各有自己的單位長 $$|\vec{u}|$$ 和 $$|\vec{v}|$$，如下圖。

以前，在直角 $$xy$$ 坐標系統上，任一點 $$A$$ 的坐標是如此決定的：過點 $$A$$ 做鉛直線交 $$x$$ 軸於 $$A_1$$，做水平線交 $$y$$ 軸於 $$A_2$$。則 $$A_1$$ 和 $$A_2$$ 在兩條數線上的坐標，就是 $$A$$ 點的坐標。如下圖。

事實上，所謂「鉛直線」就是平行於 $$y$$ 軸的直線，而所謂「水平線」就是平行於 $$x$$ 軸的直線。利用平行的觀念，兩個軸不一定要互相垂直，也不一定要放在「水平」和「鉛直」的位置。

現在，在 $$uv$$ 坐標系統上，任一點 $$A$$ 的坐標可以如此決定：過點 $$A$$ 做平行於 $$v$$ 軸的直線，交 $$u$$ 軸於點 $$A_1$$，做平行於 $$u$$ 軸的直線，交 $$v$$ 軸於 $$A_2$$。則 $$A_1$$ 和 $$A_2$$ 在兩條數線上的坐標，就是 $$A$$ 點的坐標。而且，根據向量加法的「平行四邊形」法，我們明白點 $$A$$ 在 $$uv$$ 坐標系統的坐標 $$A(u_0,v_0)$$ 就是線性組合的係數：

$$u_0\vec{u}+v_0\vec{v}=\vec{OA}$$

如下圖。

註：感謝三民書局提供圖片。

向前連結：平面向量的線性組合

延伸閱讀：

1. 單維彰，高中數學III 之〈教師手冊〉及其光碟內的輔助程式，三民書局，100年4 月。