空間向量發展史

空間向量發展史 (The Derivation of Space Vectors)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

摘要：簡述從複數引起「空間數」的想像，漢彌爾頓之「四元數」最接近成功地實現了這個想像，但是它太複雜而被簡化成空間向量。

從複數平面我們看到複數具有平面向量的本質，而複數的極式則導出了平面向量的內積公式和二階行列式的意義。複數使得平面上的點變得像實數，而實數對應數線上的點。如果把實數想像為直線數，則複數就像平面數。很自然地，數學家想要找到更高一個維度的數：「空間數」。

後人在高斯遺留的手稿中發現他在 1819 年嘗試過 $$a+b\textbf{i}+c\textbf{j}$$ 形式的「空間數」，其中的 $$a+b\textbf{i}$$ 就是複數。但是並不成功也就沒有發表。

據漢彌爾頓（William Hamilton, 1805-1865）的自述，這個問題大約從 1828 年起成為他「智識上的渴望」（an intellectual want），直到十五年後的1843年10月16日，在一次「觸電似」的神奇經驗中頓悟了三項不夠而需要四項的「空間數」：$$u+a\textbf{i}+b\textbf{j}+c\textbf{k}$$，稱為四元數（quaternion），其中 $$u$$ 稱為純量部分，$$a\textbf{i}+b\textbf{j}+c\textbf{k}$$ 稱為向量部分；$$\textbf{i}$$、$$\textbf{j}$$、$$\textbf{k}$$ 扮演像複數中的虛數單位 $$i$$ 那樣的角色，稱為生成元素，而 $$u$$、$$a$$、$$b$$、$$c$$ 都是實數。順便一提，1843 年是中英〈南京條約〉生效的第一年，英國佔領香港。

就像複數一樣，兩個四元數 $$p=u+a\textbf{i}+b\textbf{j}+c\textbf{k}$$ 和 $$q=v+x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}$$ 相等的意義是$$u=v$$、$$a=x$$、$$b=y$$、$$c=z$$。四元數的加或減就是對應係數的加或減，也就是 $$p\pm{q}=(u\pm{v})+(a\pm{x})\textbf{i}+(b\pm{y})\textbf{j}+(c\pm{z})\textbf{k}$$，可見四元數的加法具備實數或複數加法的性質：結合律與交換律。

至於乘法，漢彌爾頓直接規定四元數的乘法對加法滿足分配律，所以只要規定生成元素之間的乘法規則，就能做四元數的乘法。這些規則是：$$\textbf{i}^2=-1$$、$$\textbf{j}^2=-1$$、$$\textbf{k}^2=-1$$、$$\textbf{ij}=\textbf{k}$$、$$\textbf{jk}=\textbf{i}$$、$$\textbf{ki}=\textbf{j}$$、$$\textbf{ji}=-\textbf{k}$$、$$\textbf{kj}=-\textbf{i}$$、$$\textbf{ik}=-\textbf{j}$$。根據以上遊戲規則，讀者不妨嘗試一個簡單的例子：

$$\begin{array}{ll}(3+2\textbf{i})(7\textbf{i}-5\textbf{k})&=3(7\textbf{i}-5\textbf{k})+2\textbf{i}(7\textbf{i}-5\textbf{k})\\&=21\textbf{i}-15\textbf{k}+14\textbf{i}^2-10\textbf{ik}\\&=-14+21\textbf{i}+10\textbf{j}-15\textbf{k}\end{array}$$

一般而言，四元數 $$p$$ 和 $$q$$ 相乘的結果如下：

$$pq=(uv-ax-by-cz)$$

$$+(ux+va+bz-cy)\textbf{i}+(uy+vb+cx-az)\textbf{j}+(uz+vc+ay-bx)\textbf{k}$$

漢彌爾頓也定義像共軛複數一樣的「共軛」四元數：$$\overline{p}=u-a\textbf{i}-b\textbf{j}-c\textbf{k}$$，
則 $$p\overline{p}=u^2+a^2+b^2+c^2=|p^2|$$，因為 $$(p\overline{p})/(u^2+a^2+b^2+c^2)=1$$，
於是產生 $$p$$ 的倒數

$$\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{\overline{p}}{|p|^2}$$

再規定 $$q\div{p}=q(\frac{1}{p})$$ 就得到了四元數的除法；當然，除數還是不得為 $$0$$，而這樣定義的除法自然滿足乘除互逆的性質。

四元數與實數和複數都「相容」。當 $$a=b=c=0$$，也就是向量部分為零，則 $$p$$ 就是實數。當 $$b=c=0$$，則 $$p$$ 就是複數。而且，當四元數「退化」成實數或複數的時候，它們的加減乘除計算就像實數或複數一樣。

唯一「遺憾」的是：四元數的乘法不具有交換律。這可以從生成元素的乘法規則看出來，例如 $$\textbf{ij}=\textbf{k}$$ 但是 $$\textbf{ji}=-\textbf{k}$$。當 $$u=v=0$$，也就是 $$p$$ 和 $$q$$ 都只有向量部分，則

$$pq=-(ax+by+cz)+(bz-cy)\textbf{i}+(cx-az)\textbf{j}+(ay-bx)\textbf{k}$$

可見 $$pq$$ 的純量部分是兩向量之內積的相反數，而 $$pq$$ 的向量部分是兩向量的外積。而外積是不可交換的，它具有「逆交換性」：$$\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})$$。

所以，當 $$p$$ 和 $$q$$ 都只有向量部分，則 $$pq$$ 和 $$qp$$ 互為共軛四元數，通常並不相等；至於 $$p$$ 和 $$q$$ 都是一般四元數的時候，$$pq$$ 和 $$qp$$ 就只有純量部分相等了。

如果把向量認知為「有方向的長度量」，則向量相乘就該是「有方向的面積量」。如此看來，四元數的乘法在向量部分等同於外積，就似乎有其不可避免的內在需要。至於放棄了乘法交換律，也似乎是一種非如此不可的「棄保效應」：棄交換律而保住更基礎的結合律（associative law）：若 $$p$$、$$q$$、$$r$$ 是四元數，則 $$(pq)r=p(qr)$$。如果結合律不成立，就不能有「連乘」計算，因為 $$(pq)r$$ 和 $$p(qr)$$ 未必相等，所以 $$pqr$$ 沒有確切的意義。

事實上，「結合律」這個名詞就是在漢彌爾頓討論四元數的時候首度出現。在四元數之前，數學家並沒有討論過不滿足結合律或交換律的運算；也就是從四元數開始，數學的「代數」支系有了全新的視野：人們可以在一個全然人造的符號系統中定義加減乘除，並討論其運算性質。

後人評判漢彌爾頓是英國僅次於牛頓的偉大數學家；而且，也像牛頓一樣，他的物理學家身份可能更勝於數學家。但是，在四元數上，漢彌爾頓是一位道道地地的純數學家：他最關心的是數學內部的一致性，或者說是數學的「美」。儘管漢彌爾頓的聲譽卓著，當時的數學和物理學者並不認同四元數的實用性。真正可以仰仗四元數而發展的物理觀念，在漢彌爾頓身故（1865）之後才發生，那就是麥斯威爾（James Maxwell）的電磁理論。

麥斯威爾出版《電與磁之論》後六年就過世了，來不及實現他心目中更「簡潔」的數學表達方式。這份著作引領了許多跟隨者，包括美國耶魯大學的吉布斯教授（Willard Gibbs, 1839-1903）。

吉布斯讀《電與磁之論》的時候已經是教授而且已經發表了重要的物理論文，但是他讀了這本書之後才開始學習四元數，當作研究電磁學的工具。過程中他洞察四元數有「多餘的」性質可以略去，只要擷取向量的係數積、內積、外積和一些我們在大一微積分課程中學習的微分與積分的運算，就能描述電磁現象並據以計算和推論。

吉布斯從 1877 年起開授電磁學課程，在課堂上採用他發展的向量方法；後來，他在 1881 年自費印刷了向量講義，除了課堂使用以外，陸續郵寄了大約 130 份給其他同好。二十年後的 1901 年，總算由他的學生Wilson代筆撰寫並正式出版為《向量分析》(Vector Analysis) 教科書。

相對於四元數，向量並不相容於實數，也不能自成一個代數系統。向量內積的結果不再是向量，所以內積不是向量乘法；而外積的結果雖然是向量，卻不滿足結合律（例如 $$(\vec{i}\times\vec{j})\times\vec{j}=-\vec{i}$$ 但是 $$\vec{i}\times(\vec{j}\times\vec{j})=\vec{0}$$，還會有非零向量之外積是零向量的窘況（任兩個平行向量的外積是零向量）。儘管向量的計算規則如此之「醜」，物理學者和其他的科學家終究因為實用性而選擇了它，正所謂不美總比不妙好。

在十九世紀的最後十年，吉布斯受到英國數學界很不友善的批評，但是畢竟他人在美國，並且有德國人的支持，還不至於投稿無門。進入二十世紀之後，塵埃很快落定，吉布斯從四元數「擷取」出來的空間向量及其演算，成為今天的標準數學內容。

至於漢彌爾頓，他有更好的選擇嗎？他是不是沒有找到最好的空間數形式？有沒有更妙的空間數等著我們這些後人發掘呢？簡單地說：沒有了。霍維茨（Adolf Hurwitz）在1898年證明：在合理的條件下，所有的「數系」只有四種：實數、複數、四元數，和一種相當於由四元數所造成的複數。霍維茨的條件是為了讓新數系與實數「相容」而設立的合理要求：

1. 數系中的數是 $$a=a_0e_0+a_1e_1+\cdots+a_ne_n$$，其中 $$e_0=1$$、$$e_1$$、$$\cdots$$、$$e_n$$ 是生成元素，$$a_0$$、$$a_1$$、$$\cdots$$、$$a_n$$ 是實數，而 $$e_i$$ 與 $$e_j$$ 相乘的結果是某個 $$e_k$$ 或 $$-e_k$$
2. 非零的兩數不得相乘為零
3. 乘法滿足結合律

所以，漢彌爾頓畢竟是位大師級的數學家，他之所以沒想到更妙的形式，是因為根本不存在更妙的形式。

向前連結：複數的極式、空間向量的內積、空間向量的外積

延伸閱讀：

1. 單維彰，從四元數到空間向量（上、下），〈科學月刊〉【數．生活與學習】專欄，99 年8 月、9 月。