多項式函數圖形的平移（Translations of A Graph of A Polynomial Function）

多項式函數圖形的平移（Translations of A Graph of A Polynomial Function）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要: 本文說明將多項式函數 \(f(x)\) 的圖形沿平行 \(x\) 軸方向移動 \(h\) 單位，沿平行 \(y\) 軸方向移動 \(k\) 單位，則新圖形是多項式函數 \(f(x-h)+k\) 的圖形。

國中數學中已學過二次函數 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 的圖形是拋物線，並且可利用配方法將函數寫成 \(f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)，得拋物線的頂點坐標為 \(V(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

反過來，若給定二次項係數 \(a\) 及頂點坐標 \(V(x_0,y_0)\)，就可以立刻寫出符合條件的二次函數 \(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\)。例如二次函數 \(f(x)\) 的首項係數為 \(\frac{1}{2}\)，頂點坐標為 \((-1,2)\)，則 \(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\)。

接下來，若我們將二次函數的圖形平移（大小、開口方向均保持不變），則僅要知道平移後的頂點坐標，即可得到平移後的函數。

以符號表示，將 \(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\) 沿平行 \(x\) 軸方向移動 \(h\) 單位（\(h>0\) 時表示向右平移，\(h<0\) 時表示向左平移），沿平行 \(y\) 軸方向移動 \(k\) 單位（\(k>0\) 時表示向上平移，\(k<0\) 時表示向下平移），則新的頂點為 \((x_0+h,y_0+k)\)，也就是說平移後的二次函數為 \(g(x)=a(x-x_0-h)^2+y_0+k\)。

由此我們還可以得知，任兩個首項係數相同的二次函數，其圖形經過平移後可完全重疊。

在二次函數中，我們可以藉助頂點平移後的新坐標，輕易地寫出新的二次函數。然而，在一般多項式函數中，該怎麼求出圖形平移後的新函數呢？仿照二次函數頂點平移的想法，我們也可以得到很棒的結論。

若點 \(P(x_0,y_0)\) 是函數 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) 圖形上的任一點，
則會滿足 \(y_0=a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0\)。

今將 \(f(x)\) 的圖形沿平行 \(x\) 軸方向移動 \(h\) 單位，沿平行 \(y\) 軸方向移動 \(k\) 單位，

那點 \(P\) 就會平移至點 \(P'(x_0+h,y_0+k)\)，

此時點 \(P’\) 會在函數 \(g(x)=a_n(x-h)^n+a_{n-1}(x-h)^{n-1}+\cdots a_1(x-h)+a_0+k\) 的圖形上（將 \(P’\) 點坐標代入 \(g(x)\) 中驗證即知），

也就是說，函數 \(f(x)\) 圖形上的任一點在平移後，都會落在函數 \(g(x)\) 的圖形上。

反過來，若點 \(Q(\alpha,\beta)\) 在函數 \(g(x)\) 的圖形上，即

\(\beta=a_n(\alpha-h)^n+a_{n-1}(\alpha-h)^{n-1}+\cdots+a_1(\alpha-h)+a_0+k\)

\(\Rightarrow\beta-k=a_n(\alpha-h)^n+a_{n-1}(\alpha-h)^{n-1}+\cdots+a_1(\alpha-h)+a_0\)

\(\Rightarrow (\alpha-h,\beta-k)\) 滿足 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)

\(\Rightarrow\) 點 \((\alpha-h,\beta-k)\) 在函數 \(f(x)\) 的圖形上。

換句話說，函數 \(g(x)\) 的圖形上的點，都可以在函數 \(f(x)\) 圖形上找一點平移而得到。

因此，函數 \(g(x)\) 可表示成 \(f(x-h)+k\)，因此，我們得到下面的結論：

將多項式函數 \(f(x)\) 的圖形沿平行 \(x\) 軸方向移動 \(h\) 單位，沿平行 \(y\) 軸方向移動 \(k\) 單位，
則新圖形是多項式函數 \(f(x-h)+k\) 的圖形。

例如：將 \(f(x)=x^3+1\) 的圖形右移 \(1\) 單位、下移 \(2\) 單位，則新圖形為函數 \(g(x)=(x-1)^3-1\) 的圖形。

事實上，上述的結論可還以推廣到一般函數都成立，不僅限於多項式函數，有興趣的讀者可模仿上述的推論方式，自行推導看看。

參考資料：

1. 林福來等  (2011)， 《普通高級中學數學第一冊》 ，南一書局。