Steiner 圓系知多少(On Steiner Chain)

Steiner 圓系知多少(On Steiner Chain)
國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授/國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授責任編輯

摘要:本文介紹Steiner圓的一些性質。

給定平面上一對內離圓 $$O_1(r_1)$$ 與 $$O_2(r_2)$$，其中圓 $$O_2(r_2)$$ 位於圓 $$O_1(r_1)$$的內部。

若 $$\{C_k\}_{k=1}^n$$ 是滿足下述四個條件的有限多個圓，則 $$\{C_k\}_{k=1}^n$$ 稱為是與內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 相切的一組Steiner 圓系  ( Steiner chain )：

$$(1)$$ 每個圓 $$C_k$$ 都與圓 $$O_1(r_1)$$ 內切、每個圓 $$C_k$$ 又都與圓 $$O_2(r_2)$$ 外切

$$(2)$$ 對每個 $$k\in\mathbb{N}$$，$$1\le k\le n-1$$，圓 $$C_{k+1}$$ 與圓 $$C_k$$ 外切

$$(3)$$ 圓 $$C_{n}$$ 又與圓 $$C_1$$ 外切

$$(4)$$ 除了 $$(2)$$ 與 $$(3)$$ 所提的切點外，$$\{C_k\}^{n}_{k=1}$$ 中的任何兩圓都沒有其它交點。

顯然地，每一組 Steiner 圓系中至少含三個圓。

圖一

圖一中的兩圖都是與一對同心圓相切的一組 Steiner 圓系，左圖含五個圓，右圖含六個圓。在兩圖中，兩對同心圓中的大圓半徑相等，但小圓的半徑顯然不等，右圖的小圓較大。這為什麼呢？下面的性質1 可以給出答案。

性質1：若兩同心圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間有一組與它們相切的 Steiner 圓系共含 $$n$$ 個圓 $$(n\geq 3)$$，且 $$r_1>r_2$$，則兩半徑 $$r_1$$、$$r_2$$ 與圓的個數 $$n$$ 滿足下述關係式：

$$\displaystyle\sin\frac{\pi}{n}=\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}$$ 或 $$\displaystyle(1+\sin\frac{\pi}{n})(1+\frac{r_2}{r_1})=2$$

因為在此 Steiner 圓系中，每一圓的半徑都等於 $$(r_1-r_2)/2$$、每一圓的圓心與同心圓圓心 $$O$$ 的距離都等於 $$(r_1+r_2)/2$$、兩相切圓的圓心對同心圓圓心 $$O$$ 所張的角都等於 $$(2\pi)/n$$。特例：當 $$n=6$$ 時，Steiner 圓系中每個圓都與同心圓中的小圓半徑相等。

上述性質1 指出有關Steiner 圓系的一個現象，那就是：並不是每一對同心圓間都有與它們相切的Steiner 圓系。例如：當 $$r_1=9r_2$$ 時，滿足 $$\sin(\pi/n)=8/10$$ 的 $$n$$ 不是正整數，因為 $$\sin(\pi/4)<8/10<\sin(\pi/3)$$。

對每個大於 $$2$$ 的整數 $$n$$，都存在有正數 $$r_1$$、$$r_2$$ 使得性質1 中的等式成立。換句話說，對每個大於 $$2$$ 的整數 $$n$$，都存在適當的兩同心圓使得它們之間有一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系。

但就以直尺圓規作圖的可行性而言，在大於 $$2$$ 的整數 $$n$$ 中，與兩同心圓相切且共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系，並不是都可以利用直尺圓規作圖。因為在此種共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系中，所有圓的圓心構成一個正 $$n$$ 邊形的 $$n$$ 個頂點，所以，當此種共含 $$n$$ 個圓的 Steiner 圓系可以利用直尺圓規作圖時，就表示該正 $$n$$ 邊形可以利用直尺圓規作圖。

根據高斯的定理，對大於 $$2$$ 的整數 $$n$$，正 $$n$$ 邊形可以利用直尺圓規作圖的充要條件是：

$$n=2^kp_1p_2\cdots p_r$$，
其中，$$p_1$$、$$p_2$$、$$\cdots$$、$$p_r$$ 是相異的 $$\mathrm{Fermat}$$ 質數，而 $$k$$ 是非負整數。

所謂 $$\mathrm{Fermat}$$ 質數，乃是指形如 $$2^{2^p}+1$$。目前已知的 $$\mathrm{Fermat}$$ 質數，只有 $$3$$、$$5$$、$$17$$、$$257$$、$$65537$$ 等五個。

所以，滿足 $$3\leq n\leq 100$$ 且正 $$n$$ 邊形可以利用直尺圓規作圖的正整數 $$n$$ 只有下列 $$24$$ 個：

$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$8$$，$$10$$，$$12$$，$$15$$，$$16$$，$$17$$，$$20$$，$$24$$，
$$30$$，$$32$$，$$34$$，$$40$$，$$48$$，$$51$$，$$60$$，$$64$$，$$68$$，$$80$$，$$85$$，$$96$$

至於與一般的內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 相切的 Steiner 圓系，可以整理成下面三個性質。

性質2：兩內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間有一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的 Steiner 圓系的充要條件是：

存在兩同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$，使得同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 間有一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的 Steiner 圓系而且內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 是同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 對某個反演變換  (inversion)  的反演像。

當此充要條件成立時，內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間的每一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系，都是同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 間的某一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的 Steiner 圓系對前述同一個反演變換的反演像。

當兩內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間有一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系時，根據性質2，內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間的每一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系，都是同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 間的某一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系對某一個反演變換的反演像。

不過，只要同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 間共含 $$n$$ 個圓的Steiner 圓系可以利用直尺圓規作圖，則內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間共含 $$n$$ 個圓的 Steiner 圓系也都可以利用直尺圓規直接作圖而不必使用反演變換。寫成性質3。

性質3：若兩內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 間有一組與它們相切且共含 $$n$$ 個圓的 Steiner圓系，而且 $$r_1>r_2$$，則過在圓 $$O_1(r_1)$$ 內部且在圓 $$O_2(r_2)$$ 外部的每一點，都可作出兩組與它們相切的 Steiner 圓系，而且所作出的 Steiner 圓系也都恰含 $$n$$ 個圓。

過在圓 $$O_1(r_1)$$ 內部且在圓 $$O_2(r_2)$$ 外部的每一點，為什麼會有「兩組」與它們相切的Steiner 圓系呢？這只要觀察同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 就可理解了。

與同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 相切的任一組 Steiner 圓系中每個圓的圓心都在圓 $$O((s_1+s_2)/2)$$ 上，而且圓 $$O((s_1+s_2)/2)$$ 上的每個點都是某一組 Steiner 圓系中某個圓的圓心。

另一方面，設 $$s_1>s_2$$，與同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 相切的任一組 Steiner 圓系中每個圓的半徑都等於 $$(s_1-s_2)/2$$，而對於在圓 $$O_1(r_1)$$ 內部且在圓 $$O_2(r_2)$$ 外部的每一點，圓 $$O((s_1+s_2)/2)$$ 上恰有兩個點與該點的距離等於 $$(s_1-s_2)/2$$

下面是Steiner 圓系的一個有趣性質。

性質4：若 $$\{C_k\}_{k=1}^n$$ 是與內離圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 相切的一組Steiner 圓系，則

$$(1)$$  對每個 $$k$$，$$1\leq k\leq n$$，圓 $$C_k$$ 與兩圓 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 各有一切點，將此二切點連一直線，則所得的 $$n$$ 條直線共點。

$$(2)$$ 對每個 $$k$$，$$1\leq k\leq n$$，圓 $$C_k$$ 與圓 $$C_{k+1}$$ 外切，（設 $$C_{n+1}=C_1$$），過兩圓 $$C_k$$ 與圓 $$C_{k+1}$$ 的切點作此二圓的公切線，則所得的 $$n$$ 條直線共點。

$$(3)$$ 前述 $$(1)$$ 中 $$n$$ 條直線所共的點與 $$(2)$$ 中 $$n$$ 條直線所共的點重合，而且此點 $$P$$ 在線段 $$\overline{O_1O_2}$$ 上並滿足

$$\displaystyle\frac{\overline{O_1O}}{\overline{O_2O}}=\frac{r_1}{r_2}$$

關於性質4 的 $$(1)$$ 與 $$(2)$$，只要觀察同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 就可理解了。此時，$$n$$ 條切點連線與 $$n$$ 條公切線所共的點就是同心圓 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 的圓心 $$O$$。

延伸閱讀：

1. 趙文敏，幾何學概論，九章。