利用複數坐標處理平面幾何問題

Posted on 2011/09/09 in 坐標幾何（平面與空間）, 幾何, 數學 with 沒有迴響 4,824 views

利用複數坐標處理平面幾何問題(Complex Coordinate in Plane Geometry)
國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授/國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授責任編輯

摘要:本文利用複數坐標處理幾道平面幾何問題。

在坐標平面上，當點 $$P$$ 的直角坐標為 $$(x,y)$$ 時，我們也稱 $$x+iy$$ 是點 $$P$$ 的複數坐標，以 $$P(x+iy)$$ 表之。當一平面上定義了一個複數坐標系時，我們稱此平面為複數平面或高斯平面或 Argand 平面。在複數坐標系中，點 $$O$$ 仍稱為原點， $$x$$ 軸改稱為實軸、$$y$$ 軸改稱為虛軸。

將坐標平面上各點的直角坐標改以複數坐標表示時，複數集 $$C$$ 的一些運算及其性質，在處理幾何問題時的簡單方便，有不少地方是直角坐標方法與向量方法所不能及的，本文中將介紹一些例子。因為篇幅所限，本文中的例子以複數的主輻角概念在處理幾何問題時的方便有用為主。

對每個不為 $$0$$ 的複數 $$z$$，都有適當的廣義角 $$\theta$$ 滿足 $$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$。每個此種角都稱為複數 $$z$$ 的一個輻角(argument)。在複數 $$z$$ 的輻角中，恰有一個輻角 $$\Theta$$ 滿足$$-\pi<\Theta\leq\pi$$，這個輻角 $$\Theta$$ 稱為複數 $$z$$ 的主輻角(principal argument)，記為 $$Arg(z)$$。

$$(1)$$ 設點 $$P$$ 的複數坐標為 $$z$$，而 $$U$$ 是實軸上的單位點。
當 $$Arg(z)\neq\pi$$ 時，主輻角 $$Arg(z)$$ 就是在以射線 $$\vec{OU}$$ 為始邊、射線 $$\vec{OP}$$ 為終邊的全體有向角中，其絕對值最小的有向角。因此，

當 $$0<Arg(z)\neq\pi$$ 時，恆有 $$Arg(z)=\angle{UOP}$$；
當 $$Arg(z)<0$$ 時，恆有 $$Arg(z)=-\angle{UOP}$$

$$(2)$$ 設點 $$A$$、$$B$$ 與 $$C$$ 的複數坐標分別為 $$a$$、$$b$$ 與 $$c$$。
當 $$Arg((c-a)/(b-a))\neq\pi$$ 時，主輻角 $$Arg((c-a)/(b-a))$$ 就是在以射線 $$\vec{AB}$$ 為始邊、射線 $$\vec{AC}$$ 為終邊的全體有向角中，其絕對值最小的有向角。因此，

當 $$0<Arg(\frac{c-a}{b-a})\neq\pi$$ 時，恆有 $$Arg(\frac{c-a}{b-a})=\angle{BAC}$$；
當 $$Arg(\frac{c-a}{b-a})<0$$時，恆有 $$Arg(\frac{c-a}{b-a})=-\angle{BAC}$$。

例 1：若點 $$A(a)$$、$$B(b)$$、$$C(c)$$、$$U(u)$$、$$V(v)$$ 與 $$W(w)$$ 分別為複數平面上兩個三角形 $$\Delta{ABC}$$ 與 $$\Delta{UVW}$$ 的頂點，則 $$\Delta{ABC}$$ 與 $$\Delta{UVW}$$ 同方向相似的充要條件是

$$\left|\begin{array}{ccc} a & u& 1\\ b & v & 1\\ c & w & 1\end{array}\right|=0$$

說明：上述充要條件可寫成 $$(b-a)(c-a)=(v-u)/(w-u)$$。將此式兩端分別取主輻角及絕對值，可知上式成立的充要條件是：$$\overline{AB}/\overline{AC}=\overline{UV}/\overline{UW}$$，且有向角$$\angle{CAB}$$與有向角$$\angle{WUV}$$相等。

例2：若點 $$A(a)$$、$$B(b)$$ 與 $$C(c)$$ 為複數平面上不共線的三點，則 $$\Delta{ABC}$$ 是正三角形的充要條件是

$$\left|\begin{array}{ccc} a & b& 1\\ b & c& 1\\ c & a& 1\end{array}\right|=0$$ 或 $$a^2+b^2+c^2=bc+ca+ab$$

說明：依例1，上述充要條件表示 $$\Delta{ABC}$$ 與 $$\Delta{BCA}$$ 同方向相似。

例3：若點 $$A(a)$$、$$B(b)$$、$$C(c)$$ 與 $$D(d)$$ 是複數平面上四個相異點，且其中至少有三點不共線，則點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 共圓的充要條件是 $$(b-c)/(a-c):(b-d)/(a-d)$$ 為一個實數。

說明：設點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 共圓。當點 $$A$$ 與點 $$B$$ 在直線 $$CD$$ 同側時，上述實數是正數；當點 $$A$$ 與點 $$B$$ 在直線 $$CD$$ 異側時，上述實數是負數。

例4 ( Ptolemy 定理 )：若點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 是平面上四個相異點，則恆有

$$\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\ge\overline{AC}\cdot\overline{BD}$$

而且等號成立的充要條件是點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 構成一個圓內接四邊形 $$ABCD$$。

證明：設點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 的複數坐標分別為點 $$a$$、$$b$$、$$c$$ 與 $$d$$。因為

$$(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)~~~~~~~~~(*)$$

所以，可得

$$\begin{array}{ll}\overline{AC}\cdot\overline{BD}&=|(a-c)(b-d)|\\&=|(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)|\\&\le|(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)|\\&=\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\end{array}$$

設點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 構成圓內接四邊形 $$ABCD$$。因為 $$B$$ 與 $$D$$ 在直線 $$AC$$ 異側，所以，$$(c-d)/(a-d):(c-b)/(a-b)$$ 是負實數，亦即，$$(a-b)(c-d)/(a-d)(b-c)$$ 是正實數。於是，由 $$(*)$$ 式可得

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BD}}{\overline{AD}\cdot\overline{BC}}&\displaystyle=\left|\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}\right|=\left|\frac{(a-b)(c-d)}{(a-d)(b-c)}+1\right|\\&\displaystyle=\frac{(a-b)(c-d)}{(a-d)(b-c)}+1=\left|\frac{(a-b)(c-d)}{(a-d)(b-c)}\right|+1\\&=\displaystyle\frac{\overline{AB}\cdot\overline{CD}}{\overline{AD}\cdot\overline{BC}}+1\end{array}$$

由此可得 $$\overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}$$。

反之，設 $$\overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}$$，則可得

$$|(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)|=|(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)|$$

於是，上式左端兩複數的比值 $$(a-b)(c-d)/(a-d)(b-c)$$ 是一個正實數。由此可知；複數 $$(c-d)/(a-d):(c-b)/(a-b)$$ 是負實數。因此，點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 共圓且 $$B$$ 與 $$D$$ 在直線 $$AC$$ 異側。亦即：點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$D$$ 構成圓內接四邊形 $$ABCD$$。

例5：設 $$P$$ 是 $$\Delta{ABC}$$ 的平面上一點，試證：

$$\displaystyle \frac{\overline{PB}\cdot\overline{PC}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}+\frac{\overline{PC}\cdot\overline{PA}}{\overline{BC}\cdot\overline{BA}}+\frac{\overline{PA}\cdot\overline{PB}}{\overline{CA}\cdot\overline{CB}}\ge 1$$

，並討論等號成立的充要條件。

證明：設點 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 與 $$P$$ 的複數坐標分別為 $$a$$、$$b$$、$$c$$ 與 $$p$$。因為

$$\displaystyle\frac{p-b}{a-b}\cdot\frac{p-c}{a-c}+\frac{p-c}{b-c}\cdot\frac{p-a}{b-a}+\frac{p-a}{c-a}\cdot\frac{p-b}{c-b}$$

$$\displaystyle=\frac{(b-c)(p-b)(p-c)+(c-a)(p-c)(p-a)+(a-b)(p-a)(p-b)}{-(b-a)(c-a)(a-b)}$$

$$\begin{multline*}\displaystyle=\frac{[(b-c)+(c-a)+(a-b)]p^2}{-(b-c)(c-a)(a-b)}-\frac{[(b^2-c^2)+(c^2-a^2)+(a^2-b^2)]p}{-(b-c)(c-a)(a-b)}\\\displaystyle +\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{-(b-c)(c-a)(a-b)}\end{multline*}$$

$$=1~~~~~~~~~(*)$$

所以，可得

$$\displaystyle \frac{|p-b|}{|a-b|}\cdot\frac{|p-c|}{|a-c|}+\frac{|p-c|}{|b-c|}\cdot\frac{|p-a|}{|b-a|}+\frac{|p-a|}{|c-a|}\cdot\frac{|p-b|}{|c-b|}$$

$$\displaystyle\ge\left|\frac{p-b}{a-b}\cdot\frac{p-c}{a-c}+\frac{p-c}{b-c}\cdot\frac{p-a}{b-a}+\frac{p-a}{c-a}\cdot\frac{p-b}{c-b}\right|=1$$

亦即：$$\displaystyle \frac{\overline{PB}\cdot\overline{PC}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}+\frac{\overline{PC}\cdot\overline{PA}}{\overline{BC}\cdot\overline{BA}}+\frac{\overline{PA}\cdot\overline{PB}}{\overline{CA}\cdot\overline{CB}}\ge 1$$

若 $$P$$ 與 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 中之一重合，則上述不等式的等號成立。
若 $$P$$ 與 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 都相異而且上述不等式的等號成立，則$$(*)$$式中的三個複數的主輻角相等。

因為三個複數的和是正實數且三個複數的主輻角相等，所以，三個複數都是正實數。

因為 $$[(p-b)/(a-b)]\cdot [(p-c)/(a-c)]$$ 是正實數，而且點 $$A$$、$$B$$ 與 $$C$$ 不共線，

所以，$$(p-b)/(a-b)$$ 與 $$(p-c)/(a-c)$$ 都不是實數。

但因為此二數的乘積是正實數，所以，$$Arg(\frac{(p-b)}{(a-b)})+Arg(\frac{(p-c)}{(a-c)})=0$$。

於是，點 $$B$$ 與點 $$C$$ 在直線 $$AP$$ 異側且 $$\angle{ABP}=\angle{ACP}$$。

同理，點 $$C$$ 與點 $$A$$ 在直線 $$BP$$ 異側且 $$\angle{BCP}=\angle{BAP}$$、

點 $$A$$ 與點 $$B$$ 在直線 $$CP$$ 異側且 $$\angle{CAP}=\angle{CBP}$$。

於是，$$P$$ 為位於 $$\Delta{ABC}$$ 的內部而且

$$\begin{multline*}\angle BAP+\angle CAP+\angle CBP+\angle ABP+\angle ACP+\angle BCP\\=\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB=180^\circ\end{multline*}$$

$$\Rightarrow 2\angle BAP+2\angle CAP+2\angle ABP=180^\circ$$

$$\Rightarrow 2\angle BAC+2\angle ABP=180^\circ$$