克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式（Cramer’s Rule, Part 2: Cramer’s Original Rule）

克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式（Cramer’s Rule, Part 2: Cramer’s Original Rule）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪在其書中所呈現的公式，與今日的克拉瑪公式在表現方式上並不相同。

連結：克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹

原來的克拉瑪公式

在沒有行列式的輔佐下，克拉瑪只能逐項寫出，但他給出一個很有趣的法則來寫出聯立方程組的解公式。

以下利用 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的一次聯立方程組說明克拉瑪的方法：

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y + {c_{ 1}}z = {d_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y + {c_{ 2}}z = {d_{ 2}}\\ {a_{ 3}}x + {b_{ 3}}y + {c_{ 3}}z = {d_{ 3}} \end{array} \right.\\\Rightarrow \displaystyle x = \frac{{{d_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {d_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {d_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {d_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {d_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {d_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\)

1. 分母中的每一項都形如 \(a_ib_jc_k\)，其中 \(i\)、\(j\)、\(k\) 就是數字 \(1\)、\(2\)、\(3\) 所有的排列情形：\(123\)、\(132\)、\(213\)、\(231\)、\(312\)、\(321\)，所以分母總共會有 \(3\times 2\times 1 =6\) 項。
2. 數一數每一項中 \(i\)、\(j\)、\(k\)「錯置」的次數，若次數是偶數，則該項前的運算符號是「\(+\)」，反之則為「\(-\)」。所謂「錯置」就是未符合 \(i<j<k\) 的條件。例如 \(a_3b_1c_2\) 中出現了兩次錯置：\(3\) 在 \(1\) 前面與 \(3\) 在 \(2\) 前面，所以 \(a_3b_1c_2\) 這一項是要被加起來的。又如 \(a_3b_2c_1\) 中有三個錯置：\(3\) 在 \(1\) 前面、\(3\) 在 \(2\) 前面與 \(2\) 在 \(1\) 前面，故 \(a_3b_2c_1\) 這一項是要減去的。完成此步驟之後，也就得到分母了。
3. 將分母中的 \(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\) 依序改為 \(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)，就得到了分子，分子除以分母就是 \(x\) 值。
4. 若將分母中的 \(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\) 依序改為 \(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)，就會得到 \(y\) 值的分子，而分母與 \(x\) 值的分母相同。以此類推，可得到其他未知數之值：
   —
   \(\displaystyle y = \frac{{{a_{ 1}}{d_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{d_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{d_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{d_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{d_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{d_{ 2}}{c_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\)\(\displaystyle z = \frac{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{d_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{d_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{d_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{d_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{d_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{d_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\)
   —

這一套法則所寫出來的公式，僅僅是利用排列的概念，然後再去算每一項的「錯置」數目就寫出來了。讀者不妨自行驗證，今日用行列式表示的克拉瑪公式：\(\displaystyle{x} = \frac{{{\Delta _{x}}}}{\Delta }\),\(\displaystyle{y} =\frac{{{\Delta _{y}}}}{\Delta }\),\(\displaystyle{z} = \frac{{{\Delta _{z}}}}{\Delta }\)，將其展開後其實和上述的式子是一模一樣的！克拉瑪雖然沒有給出公式的證明，但他在書中有聲明，這個公式對任意 \(n\) 個未知數都成立。

例子：用原來的克拉瑪公式求三元一次聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot x + 2 \cdot y + 1 \cdot z = 6\\ 1 \cdot x + 1 \cdot y – 1 \cdot z = 1\\ 5 \cdot x – 3 \cdot y + 2 \cdot z = 4 \end{array} \right.\) 之解。

解法：

\(\begin{array}{ll}\displaystyle x &=\displaystyle \frac{{{d_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {d_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {d_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {d_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {d_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {d_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\\&=\displaystyle\frac{{6 \cdot 1 \cdot 2 – 6 \cdot ( – 3) \cdot ( – 1) – 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( – 3) \cdot 1 + 4 \cdot 2 \cdot ( – 1) – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 \cdot 2 – 3 \cdot ( – 3) \cdot ( – 1) – 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( – 3) \cdot 1 + 5 \cdot 2 \cdot ( – 1) – 5 \cdot 1 \cdot 1}} \\&=\displaystyle\frac{{ – 25}}{{ – 25}} = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{ll}\displaystyle y &=\displaystyle\frac{{{Z^1}{A^2}{X^3} – {Z^1}{A^3}{X^2} – {Z^2}{A^1}{X^3} + {Z^2}{A^3}{X^1} + {Z^3}{A^1}{X^2} – {Z^3}{A^2}X}}{{{Z^1}{Y^2}{X^3} – {Z^1}{Y^3}{X^2} – {Z^2}{Y^1}{X^3} + {Z^2}{Y^3}{X^1} + {Z^3}{Y^1}{X^2} – {Z^3}{Y^2}{X^1}}}\\&=\displaystyle\frac{{3 \cdot 1 \cdot 2 – 3 \cdot 4 \cdot ( – 1) – 1 \cdot 6 \cdot 2 + 1 \cdot 4 \cdot 1 + 5 \cdot 6 \cdot ( – 1) – 5 \cdot 1 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 \cdot 2 – 3 \cdot ( – 3) \cdot ( – 1) – 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( – 3) \cdot 1 + 5 \cdot 2 \cdot ( – 1) – 5 \cdot 1 \cdot 1}} \\&=\displaystyle\frac{{ – 25}}{{ – 25}} = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{ll}\displaystyle z&=\displaystyle\frac{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{d_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{d_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{d_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{d_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{d_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{d_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\\&=\displaystyle\frac{{3 \cdot 1 \cdot 4 – 3 \cdot ( – 3) \cdot 1 – 1 \cdot 2 \cdot 4 + 1 \cdot ( – 3) \cdot 6 + 5 \cdot 2 \cdot 1 – 5 \cdot 1 \cdot 6}}{{3 \cdot 1 \cdot 2 – 3 \cdot ( – 3) \cdot ( – 1) – 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( – 3) \cdot 1 + 5 \cdot 2 \cdot ( – 1) – 5 \cdot 1 \cdot 1}} \\&=\displaystyle\frac{{ – 25}}{{ – 25}} = 1\end{array}\)

行列式的優點

雖然克拉瑪找到了一套規則來寫出一次聯立方程的解，但因沒有行列式這工具，所以看起來頗為繁複。事實上透過行列式，不僅可以展現克拉瑪公式一般性的威力與形式簡潔之美，更可以透過行列式的運算性質幫助簡化計算，一來讓手算求解變得比較容易可行，二來也提供一個明確的演算法則讓電腦得以代替手算求解。

參考資料：

1. O’Connor, John and Robertson, Edmund (2000). “Gabriel Cramer”, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.html
2. Chabert, Jean-Luc (Ed.) (1999). A History of Algorithms: From th Pebble to the Microchip. New York: Springer.