求一術與插值多項式

求一術與插值多項式
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師

一、求一術

所謂求一術，即是一般所稱的中國剩餘定理，指的是解一次同餘式的問題，例如：

今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？

這樣的問題首先出現在《孫子算經》一書中。一般這個問題就稱為「孫子問題」，這種問題在民間流傳頗廣，通常有「秦王暗點兵」、「韓信點兵」、「翦管術」、「鬼谷算」等稱法。

孫子問題即是「求一數 \(N\)，除以 \(3\) 餘 \(2\)，除以 \(5\) 餘 \(3\)，除以 \(7\) 餘 \(2\)」，這個問題不僅是一個提昇讀者興趣的題目，它和古代曆法的推算有密切的關係。我們用 \(N\equiv r_i(\bmod~m_i)\) 符號代表 \(N\) 用 \(m_i\) 去除餘 \(r_i\)，例如 \(N\equiv 2(\bmod~3)\) 表示一數 \(N\) 除以 \(3\) 餘 \(2\)，因此這類問題即是解下列的聯利一次同餘式：

\(\left\{ \begin{array}{l} N \equiv {r_1}(\bmod {m_1})\\ N \equiv {r_2}(\bmod {m_2})\\ N \equiv {r_3}(\bmod {m_3})\\ \vdots \\ N \equiv {r_n}(\bmod {m_n}) \end{array} \right.\)

這個問題要解決，可以考慮先求除以個數後餘 \(1\) 的情況，即求下列式子中的 \(k_i\)：

\(\displaystyle k_i\frac{M}{m_i}\equiv 1(\bmod~m_i)\)，其中 \(M=m_1\cdot m_2 \cdot … \cdot m_n,~i=1,2,3,…,n\)

當求出 \(k_i\) 之後，所求 \(\displaystyle{N}= ({r_1}{k_1}\frac{M}{{{m_1}}} + {r_2}{k_2}\frac{M}{{{m_2}}} + … + {r_n}{k_n}\frac{M}{{{m_n}}}) + tM\)。

當 \(m_i\) 簡單如 \(3, 5, 7\)，輕易可以推測出 \(k_i\)；中國南宋時期，秦九韶 (1202-1261) 在他的著作《數書九章》(1247) 中，將此問題推廣到任意的除數（非兩兩互質）及餘數。至於此求解的方法，就稱為「大衍總數術」，是先將除數化為兩兩互質，再用「大衍求一術」去求解，對相關的理論和算法，作了集大成的工作。

二、插值多項式與求一術

99數學課綱在第一冊多項式的教材中，以插值多項式的概念作為多項式除法的一個應用。然而學生在學習此單元時，通常不知學習目的何在，或是很難賦予插值多項式意義，尤其是拉格朗日插值多項式，對學生而言，簡直是天外飛來一筆，通常只能告記憶的方式勉強背誦。

課綱中所要強調的多項式的應用：「多項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值」。學生在學習插值多項式時，必須先「知道」這一點，至少必須知道，在此的多項式，是用來求一般函數得近似值的。接著學生必須理解所謂的「插值多項式」，就是利用已知的幾個數據點，來逼近函數的多項式。

針對插值多項式的學習，筆者嘗試利用中國的求一術設計一連串的例題與演練，利用問題設計的引導，一步步引導學生了解插值多項式的意涵，並類比求一術中將數字以餘數問題返回推被除數的方法，來看拉格朗日插值多項式的假設方法，期望藉此能更輕易地、合理地接受與學習拉格朗日插值多項式。

例題1. 已知多項式，求近似值

設 \(f(x) = {x^3} – 5{x^2} + 6x + 3\)，

1. \(f(1)=?~~~f(2)=?\)
2. 若 \(f(x)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d\)，\(a, b, c, d=?\)
3. 求 \(f(1.1)\) 的近似值

例題2. 已知多項式的兩點，求近似值

1. 若 \(f(x)\) 除以 \((x-1)\) 餘 \(5\)，除以 \((x-2)\) 餘 \(3\)，則 \(f(x)\) 除以 \((x-1)(x-2)\) 的餘式為何？
2. 求過 \((1, 5), (2, 3)\) 的直線方程式。
3. 求 \(f(1.1)\) 的近似值。

例題3. 已知多項式的三點，求近似值

1. 已知多項式 \(f(x)\) 除以 \((x-1)\) 餘 \(5\)，除以 \((x-2)\) 餘 \(3\)，除以 \((x-3)\) 於 \(3\)，則 \(f(x)\) 除以  \((x-1)(x-2)(x-3)\) 的餘式為何？
2. 求過三點 \((1, 5), (2, 3), (3, 3)\) 的多項式 \(g(x)\)
3. 求 \(f(1.1)\) 的近似值。

例題4. 求一術（中國剩餘定理）

已知一數 \(n\) 被 \(3\) 除餘 \(2\), 被 \(5\) 除餘 \(3\)，被 \(7\) 除餘 \(2\)，則此數 \(n\) 為何？

解：先分別找除以 \(3\) 餘 \(1\)、除以 \(5\) 餘 \(1\)、除以 \(7\) 餘 \(1\) 的數：

被 \(3\) 除餘 \(2\)，所以取 \(2\times \underline{2\times 5\times 7}\)；被 \(5\) 除餘 \(3\)，所以取 \(3\times \underline{3\times 7}\)，被 \(7\) 除餘 \(2\)，所以取  \(2\times \underline{3\times 5}\)，

因此 \(n=2\times \underline{2\times 5\times 7}+3\times \underline{3\times 7}+2\times \underline{3\times 5}=\underline{233}\)

\(n\) 最小為 \(\underline{233}\)

例題5. 已知函數三點，求近似值

1. 求過三點 \((1, 5), (2, 3), (3, 3)\) 的插值多項式 \(g(x)\)

解：\(g(x)\) 的假設方法：

被 \((x-1)\) 除餘 \(5\)，所以取 \(5\times\underline{~~~~~~}\)

被 \((x-2)\) 除餘 \(3\)，所以取 \(3\times\underline{~~~~~~}\)

被 \((x-3)\) 除餘 \(3\)，所以取 \(3\times\underline{~~~~~~}\)

故取 \(g(x)=5\times\underline{~~~~~~}+3\times\underline{~~~~~~}+3\times\underline{~~~~~~}\)

2. 若一函數連續 \(f(x)\), 已知 \(f(1)=5, f(2)=3, f(3)=3\)，求 \(f(1.1)\) 的近似值。

參考文獻

1. 李儼（1983），《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社。
2. 錢寶琮主編（1992），《中國數學史》，北京：科學出版社。
3. 洪萬生（2009），〈求一術的出路：同餘理論有何教學價值與意義？〉，《HPM通訊》12(4)。
4. 楊瓊茹（2001），〈中國剩餘定理〉，《HPM通訊》4(10)。