機率法則 (Principle of Probability) (一)

機率法則 (Principle of Probability) (一)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

由拉普拉斯古典機率定義 $$P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}$$，我們推得下列的基本法則：

若 $$A$$、$$B$$為兩事件，則

1.  $$0 \le P(A \cap B) \le P(A)$$，$$0 \le P(A \cap B) \le P(B)$$ 。
2.  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$。
3. 當 $$A$$ 與 $$B$$ 為獨立事件時，$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$；
   當 $$A$$ 與 $$B$$ 為互斥事件時，$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$。

上述三個規則是機率論的基本概念，然而人們的機率直覺卻可能違背這些法則。諾貝爾經濟學得主卡曼尼 ( Daniel Kahneman, 1934年–) 和他的長期研究夥伴特佛斯基 ( Amos Tversky , 1937年–1996年) 曾設計過一個經典的實驗：

假設有位女性名叫琳達，31歲，單身，坦率而且十分聰明。她大學時主修哲學，在學生時代十分關心歧視和社會正義等議題，還參加過反核示威遊行。請受試者針對下列三個敘述發生的可能性排序：

琳達活躍於婦女運動

琳達是銀行出納員而且活躍於婦女運動

琳達是銀行出納員

令人出乎意料，有87%的人認為「琳達是銀行出納員而且活躍於婦女運動」的可能性最高，這結果牴觸第一條法則「兩個事件同時發生的機率，小或等於個別事件發生的機率。」實驗顯示，當添加描述使情境愈顯真實，我們認為愈可能發生，所以導致偏誤的判斷。例如：「被告在發現屍體後，離開現場」與「被告在發現屍體後，他害怕被人當成兇手，離開了現場」哪一個發生的可能性大？六個字母的英文單字中，是第五個字母為「n」的較多，還是以「ing」結尾的較多？上述情境中，雖然都是後者發生的機率較小，但卻聽起來更真實。

又例如：如果肺血管栓塞，患者會出現某個或某些症狀，常發生的症狀有呼吸急促，局部麻痺的症狀並不常見。但是卡曼尼和特佛斯基研究發現，91%的實習醫生相信，肺血管栓塞造成局部麻痺的可能性，低於局部栓塞再加呼吸急促。

細節描述愈多愈生動，不知不覺中扭曲了我們對事情的看法。誠如卡曼尼和特佛斯基所說的：「說得好聽的故事，往往比不盡合意的解釋更不可信。」

接下來，我們將討論機率法則(2)和(3)的運算。首先，我們以提摩西‧杜朗 (Timothy Durham) 的司法案為例說明 ( 參見機率法則 (二) )。

參考資料：

• 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路-機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。
• 許志農主編(2013)，《普通高級中學數學》第二冊， 台北：龍騰文化。