機率法則 (Principle of Probability) (二)

機率法則 (Principle of Probability) (二)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

連結：機率法則 (Principle of Probability) (一)

1993年美國奧克拉荷馬州突沙市 (Tulsa, Oklahoma) 法庭根據DNA鑑定報告等相關證物，判決提摩西‧杜朗犯下強暴與強盜罪。即便有十一個證人作證在案發時，提摩西正在達拉斯州參加飛靶射擊比賽，但是犯罪現場採得的DNA卻與提摩西的DNA吻合，在這項強力的證據下，求處刑期3200年。

究竟DNA鑑定比對的準確率有多高？高達 $$999,999/1,000,000$$ ！隨便一個人的DNA與犯罪現場的採樣相同的機率小於百萬分之一，甚至是億萬分之一，相同的可能性可以說是微乎其微。

不過，在1997年，即提摩西被關了三年半之後，再度重新檢驗證據發現，實驗室在一開始進行DNA分析時，沒有將犯人與被害人的DNA完全分離出來，而混合型的DNA與杜朗單一的DNA相符，造成錯誤解讀。所以，杜朗獲得無罪釋放。

我們也很難怪罪陪審員的錯誤判決造成將近四年的冤獄，因為許多實驗室或法庭從未特別注意實驗錯誤的統計數據，其錯誤機率，雖估計不一，許多專家認為是1%。假設DNA比對湊巧相同的機率是億萬分之一、實驗室錯誤的機率是百分之一，那麼，整體的出錯率應該介在百分之一和億萬分之一之間嗎？

假設 $$A$$ 表示DNA比對湊巧相同的事件、$$B$$ 表示實驗室發生人為錯誤的事件，機率法則告訴我們，至少發生其中一種錯誤的機率是：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

上式中，相較於百分之一的實驗室出錯率，億萬分之一的DNA機率值太小反而可以不計。因此，除了採信DNA證據，實驗室出錯率等其他統計數據也顯得相當重要。誠然，法庭上DNA的正確性一再被強調，但若能運用機率法則適當論證，就更能接近隱藏的真理。

最後，關於機率值的計算，也需要注意條件中的細節，這正是我們要介紹的第三個法則。所謂的獨立事件 ( independent event )，是指某一事件發生的機率不會因為另一事件的發生與否而受到影響。

例如：某航空公司有甲、乙兩位訂位旅客尚未報到，根據經驗，一位訂位旅客會來報到的機率是五分之四，假設 $$A$$ 表示甲會來報到的事件、$$B$$ 表示乙會來報到的事件，那麼兩人都會來報到的機率是：

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=4/5\times 4/5=16/25$$

上式中，其實假設了兩位旅客是獨立的，但如果他們是一起出門的夫妻，這時兩人同時來報到的機率是：

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=4/5\times 1=4/5$$

至於互斥事件 ( mutually exclusive ) 是指兩個事件的交集是空集合，再以航空公司為例，甲乙兩位旅客報到的可能結果為：

甲乙兩人都來報到，機率為 $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=4/5\times 4/5=16/25$$；

甲有來報到但乙沒來，機率為 $$P(A\cap B’)=P(A)\cdot P(B’)=4/5\times 1/5=4/25$$；

甲沒來報到但乙有來，機率 $$P(A’\cap B)=P(A’)\cdot P(B)=1/5\times 4/5=4/25$$；

甲乙兩人都沒來報到，機率 $$P(A’\cap B’)=P(A’)\cdot P(B’)=1/5\times 1/5=1/25$$。

這四個不同的可能結果，兩兩互斥，機率總和為1。如果航班只剩下一個空位，但卻有兩人已訂位，則地勤人員心裡估算恰好一位旅客報到的機率是

 $$P(A\cap B’)+P(A’\cap B)=4/25+4/25=8/25$$

究竟機率的計算何時用加法？何時用乘法？其實，分別正是排列組合計數問題所使用的「加法原理」與「乘法原理」的精神，前者將所有可能的結果清清楚楚的分類，兩兩之間沒有模糊地帶，沒有交集；而後者則是按步驟逐一考慮來完成整個事件。

參考資料：

• 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路-機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。
• Thompson, W.C., Taroni, F & Aitken, C.G. (Jan. 2003),“How the probability of a false positive affects the value of DNA evidence” Journal of Forensic Sciences, Vol. 48, No. 1
• http://www.innocenceproject.org/Content/Timothy_Durham.php