無限的觀念～0.9是否等於1？

無限的觀念～0.9是否等於1？
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

一、前言

目前高中教材中，有兩個部分涉及「無限」。首先是數學I，在一開始介紹數系的時候，學生要學會將循環小數化成分數。

在此之前，學生從來沒有接觸過「無限」的概念，也沒學過無窮等比級數如何求和，因此教師通常都是這樣教的：例如要將 \(0.\overline{12}\) 化成分數，令 \(0.\overline{12}=x\)，因為

\(x=0.\overline{12}=0.121212…\)

\(100x=12.121212…\)

將兩式相減得 \(99x=12\)，因此 \(x=\frac{12}{99}\)

這樣計算推理邏輯有個前提必須是假設 \(0.\overline{12}=0.121212…\) 這個無限小數是收斂的，其收斂值存在才能假設它為 \(x\)，並且以 \(x\)去進行運算。

教材中涉及無限的第二部分為高三選修下冊的極限單元。在這裡從新、從頭開始講解無限的概念，以直觀的方式理解數列的收斂與發散，以及無窮數列的極限值，並以無窮等比級數的方式學習將循環小數化為分數，然後將觀念擴充到函數的極限。數學乙就到此結束，數學甲繼續往下進行微積分的教學。

現在教科書的微積分內容，先以「極限」的觀念與形式現導數的意義，然而在高一與高二的課程中，學生對「無限」（包括無窮大與無窮小量）與「逼近」實際上是沒什麼機會接觸的，對概念的了解也還停留在直觀上，所以對「極限」常常會有些錯誤迷思，例如「\(0.\overline{9}=1\)」，以及 \(\frac{0}{0}\) 型式的極限，都是在學習微積分的第一道關卡–「極限」的過程中常會出現的問題所在。

本文試著從數學史的角度切入來說明無限的觀念，以及對「\(0.\overline{9}=1\)」這個式子的理解與迷思。

潛在無限與實在無限

由於季諾（Zeno of Elea, 490BC~430 BC）悖論的影響，自古希臘以來，西方數學家在面臨「無限」的問題時，總是小心翼翼、謹慎有加的斟酌處理。在當時，亞里斯多德（Aristotle, 384 BC – 322 BC）就以非常大智慧地將「無限」分成「潛在無限potential infinity」與「實在無限actual infinity」。

所謂「潛在無限」，指的是「可以一直作下去」的一個過程，例如一段線段可以一直分割下去；或是自然數可以一直加1得到下一個，這樣一直作下去，不會有所謂的「盡頭」，這即是潛在無限。而「實在無限」則是一個整體的存在，例如自然數的全體即是實在無限。「實在無限」的概念要一直要到康托（Georg Cantor, 1845~1918）以後才較為清楚的被了解，而「潛在無限」則一直被數學家們運用在有關無限的許多題材中，例如，阿基米德（Archimedes of Syracuse, 287? BC ~ 212 BC）在證明圓面積公式與拋物線弓形面積中，也都利用了「潛在無限」的觀念，將曲線圖形與越來越逼近此曲線的直線形間的關係來加以討論證明。從希臘以來的數學處理方式，其實也暗示著學生在學習有關無限的概念時，實際上「潛在無限」的這樣子的接近無窮的「程序」性質，確實比「實在無限」更容易掌握。

舉例來說，學生在學習循環小數時，常在選擇題中碰到型如「\(0.\overline{9}=1\)」的判斷真假問題。這個問題就如同季諾悖論一樣讓人覺得是是而非，無法讓人確實的信服。有許多人直觀的反應一定是「\(0.\overline{9}<1\)」，他們會形成這樣的印象大概可以歸納成幾個原因：

• 最簡單的質疑意見來自於數字比大小的根深蒂固觀念，因為不管 0.99999… 後面的「…」有多少個，都是零點多，一定比1還要小。
• 在無窮等比級數的單元中，我們學習利用無窮等比級數的求和，將循環小數化為分數，
  而 \(0.9999…=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+…\)此無窮等比級數的和為 \(\frac{9/10}{1-1/10}=1\)。
  雖說它的「和」是1，但是大家都知道這個公式實際上是一個取極限的過程，
  它來自於 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{9}{10}(1-(\frac{1}{10})^n)}{1-\frac{1}{10}}\)，所以 \(1\) 是 \(0.999…\) 的極限值，\(0.999…\) 並不等於 \(1\)。
• 有些人在將循環小數化成分數時，用的是乘以 \(10\) 的次方將其進位的方法，如令 \(x=0.999…\)，兩邊同乘以 \(10\)，得到 \(10x=9.999…=9+0.999…=9+x\)，兩邊同時消去 \(x\)，所以 \(9x=9\)，即 \(x=1\)。在這樣的過程中，讓人質疑的是 \(x\) 可否消去的問題，因為若 \(x\) 消去後，得到的 \(9x\)，但是 \(x=0.999…\)，乘以 \(9\) 以後，得到的應該是 \(8.999…\)，且最後一位數字（如果有的話）應該是 \(1\)，當然不會等於 \(9\)。

\(0.\overline{9}\) 是否等於 \(1\) 的這個問題，追根究底就是「實在無限」與「潛在無限」的兩派看法。

從「實在無限」的角度來看，即是將 \(0.\overline{9}\) 看成一整個實體，如同 \(\sqrt{2}\) 一般，我們同意 \(\sqrt{2}\) 是一個數，而這個數是一個無窮小數，等於 \(1.41421…\)，不管此小數後面的「…」有多少個數字，又是什麼樣的數字，\(\sqrt{2}=1.41421…\)。而數字 \(1\) 就和 \(\sqrt{2}\) 一樣，\(1\) 這個數的另一個無窮小數的表示法就是 \(0.\overline{9}\)，所以 \(0.\overline{9}=1\)。

然而有些人從「潛在無限」的角度來看 \(0.\overline{9}=0.999…\)，他們會將後面的「…」看成一個「過程」，所以可以一直寫下 \(9\)，雖然要多少個就可以寫下多少個，但還是 \(9\) 這個數字，當然 \(0.999…\) 不等於 \(1\)。

潛在無限的概念，相較於實在無限來說，確實是較為直觀而容易了解，同時，又符合我們在有限世界所習慣的數學原則，所以，微積分在發明之初，當數學家們面對無窮小量與無窮小量的變化率時，有許多觀念的解釋即是來自於「潛在無限」的觀念。不過要進一步將微分與積分的觀念精鍊，以及以更嚴謹的形式學習或發展更進一步的數學，接受「實在無限」的概念是必須要越過的一道鴻溝。

參考文獻

1. Richman, F. (1999). “ Is 0.999… = 1?”, Mathematics Magazine 72: 404-408.
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4. Kline, M.(2004)，趙學信、翁秉仁譯，《數學確定性的失落》，台北：台灣商務印書館。