用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

接著我們來看些可用「平面族」解決的問題吧！事實上，空間中的直線方程式可表成兩面式，因此，在求與直線條件有關的平面方程式問題上，「平面族」常有意想不到的妙用。
看看下面的例子：

求包含$$x$$軸，且過點$$A(1,-1,2)$$的平面方程式。

(解法一)
在$$x$$軸上取一點$$B(1,0,0)$$，且$$x$$軸的方向向量為$$\vec{v}=(1,0,0)$$，

由於所求平面包含$$x$$軸，並過$$A(1,-1,2)$$，

平面的法向量$$\vec{n}~//~\vec{v}\times\vec{AB}=(1,0,0)\times(0,1,-2)=(0,2,1)$$，故取$$\vec{n}=(0,2,1)$$

因此，平面方程式為 $$2y+z=0$$

(解法二)
由於$$x$$軸的直線方程式可寫成$$\begin{cases} y=0\\ z=0\end{cases}$$  (兩面式)，

根據平面族定理，包含$$x$$軸的任意平面可以寫成$$y+kz=0$$，

將$$(1,-1,2)$$代入，得 $$k=\frac{1}{2}$$

所以，平面方程式為 $$y+\frac{1}{2}z=0\Rightarrow 2y+z=0$$

再來另一個例子：

包含直線$$L_1:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$$與直線$$L_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{6}$$的平面方程式

(解法一)
由題意可知，$$L_1$$的方向向量$$\vec{v_1}=(1,2,3)$$，點$$A(-1,3,2)$$在$$L_1$$上；

$$L_2$$的方向向量$$\vec{v_2}=(2,4,6)$$，點$$B(2,-1,3)$$在$$L_2$$上。

由於$$\vec{v_1}~//~\vec{v_2}$$，所求平面的法向量

$$\vec{n}~//~\vec{v_1}\times\vec{AB}=(1,2,3)\times(3,-4,1)=(14,8,-10)=2(7,4,-5)$$，

取$$\vec{n}=(7,4,-5)$$，因此，所求平面方程式為$$7x+4y-5z+5=0$$

(解法二)
我們可將$$L_1$$改寫成兩面式$$\begin{cases} \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{2}\\\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 2x-y+5=0\\3y-2z-5=0\end{cases}$$，

根據平面族定理，過$$L_1$$的平面方程式可設為$$(2x-y+5)+k(3y-2z-5)=0$$，

又包含$$L_2$$，將點$$B(2,-1,3)$$代入平面方程式，得$$k=\frac{5}{7}$$。

因此，所求平面方程式為$$(2x-y+5)+\frac{5}{7}(3y-2z-5)=0\Rightarrow 7x+4y-5z+5=0$$。

事實上，除了上述的問題外，平面族對於我們理解三元一次聯立方程組的幾何意義與行列式表示法的連結，有著很大的助益。這是接下來所要說明的部份。

給定方程式$$ax+by+cz+d=0$$，其幾何意義代表空間中的一個平面，

因此三元一次聯立方程組$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}$$的解，

就是要找出空間中三平面

$$E_1:a_1x+b_1y+c_1z=d_1$$，$$E_2:a_2x+b_2y+c_2z=d_2$$與$$E_3:a_3x+b_3y+c_3z=d_3$$ 的共同交點坐標。

如何求解？解的形態為何？高中數學是由克拉瑪公式的觀點切入，得到一般性的判斷準則。
主要結論及對應圖形整理表列如下：

然而，我們想將空間中三平面的相交情形與行列式的表示法建立關係時，關係(1)可由克拉瑪公式來看出；關係(2)至(6)恰為三平面間的平行與重合，與平面方程式係數是否成比例有關，容易與行列式的運算性質銜接，而關係(7)和(8)則是較難直接從行列式的運算性質看出結果，但是由平面族定理則會變得非常容易理解。

以關係(7)–三相異平面交於一線為例，

由於$$E_1$$、$$E_2$$及$$E_3$$相交於一線，所以$$E_3$$可以表成$$\alpha E_1+\beta E_2$$，

也就是說平面$$E_3$$的方程式$$a_3x+b_3y+c_3z-d_3=0$$

與$$\alpha(a_1x+b_1y+c_1z-d_1)+\beta(a_2x+b_2y+c_2z-d_2)$$等價。

故 $$\displaystyle\frac{a_3}{\alpha a_1+\beta a_2}=\frac{b_3}{\alpha b_1+\beta b_2}=\frac{c_3}{\alpha c_1+\beta c_2}=\frac{d_3}{\alpha d_1+\beta d_2}=t$$

所以

$$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ t(\alpha a_1+\beta a_2)&t(\alpha b_1+\beta b_2)&t(\alpha c_1+\beta c_2)\end{array}\right|=0$$

$$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ t(\alpha d_1+\beta d_2)&t(\alpha b_1+\beta b_2)&t(\alpha c_1+\beta c_2)\end{array}\right|=0$$

同理，$$\Delta_y=0$$，$$\Delta_z=0$$

至於關係(8)–三平面兩兩相交於一直線且三直線平行，則可由關係(7)加以延伸，

由圖(8)觀察可以看到$$E_3$$恰與某一個過$$E_1$$與$$E_2$$交線的平面$$\alpha E_1+\beta E_2$$平行，

即平面$$a_3x+b_3y+c_3z-d_3=0$$

與平面$$\alpha(a_1x+b_1y+c_1z-d_1)+\beta(a_2x+b_2y+c_2z-d_2)=0$$平行，

故$$\displaystyle\frac{a_3}{\alpha a_1+\beta a_2}=\frac{b_3}{\alpha b_1+\beta b_2}=\frac{c_3}{\alpha c_1+\beta c_2}\neq\frac{d_3}{\alpha d_1+\beta d_2}$$。

所以$$\Delta=0$$，而且$$\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z$$至少一個不為0

再一次看見「平面族」的威力了吧！