用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)

接著，我們就來證明「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」會成立：

【証明】整個定理的証明可分為三部份：

1. 上面的方程式(*)一定是表示平面方程式；
2. 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線$$L$$；
3. 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式。

(1) 方程式(*)一定是表示平面方程式

當$$\alpha = 0$$，$$\beta \neq 0$$時，方程式(*)為平面$$E_2$$。

當$$\alpha \neq 0$$，$$\beta = 0$$時，方程式(*)為平面$$E_1$$。

當$$\alpha\neq 0$$，$$\beta \neq 0$$時，方程式(*)可寫成一般式：$$(\alpha a_1+\beta a_2)x+(\alpha b_1+\beta b_2)y+(\alpha c_1+\beta c_2)z+(\alpha d_1+\beta d_2)=0$$，

此方程式的$$x$$、$$y$$、$$z$$係數不全為零。(Why？)

Ans：若方程式的$$x$$、$$y$$、$$z$$係數全為零，

則$$\alpha a_1+\beta a_2=\alpha b_1+\beta b_2=\alpha c_1+\beta c_2=\alpha d_1+\beta d_2=0\\\Rightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}=-\frac{\beta}{\alpha}$$

即平面$$E_1$$與$$E_2$$平行。(與已知矛盾)

可見方程式(*)是$$x$$、$$y$$、$$z$$的一次方程式，所以它表示平面方程式。

(2) 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線 $$L$$

這顯然是成立的！因為直線$$L$$是平面$$E_1$$與$$E_2$$的交線，

則$$L$$上的任一點(設為$$P(x_0,y_0,z_0)$$)均會滿足平面$$E_1$$與$$E_2$$的方程式。

所以 $$a_1x_0+b_1y_0+c_1z_0+d_1=0$$  且 $$a_2x_0+b_2y_0+c_2z_0+d_2=0$$
$$\Rightarrow \alpha(a_1x_0+b_1y_0+c_1z_0+d_1)+\beta(a_2x_0+b_2y_0+c_2z_0+d_2)=0$$

滿足方程式(*)。

因此，方程式(*)所表的平面都通過直線$$L$$。

(3) 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式

也就是任何過$$L$$的平面，必有不全為零的$$\alpha$$與$$\beta$$，可寫成方程式(*)。

當平面$$E$$是平面$$E_1$$時，取$$\alpha=1$$，$$\beta=0$$就可以了。

當平面$$E$$是平面$$E_2$$時，取$$\alpha=0$$，$$\beta=0$$就可以了。

當平面$$E$$不為$$E_1$$與$$E_2$$時，取平面$$E$$上，不在$$L$$的一點$$Q(x_0,y_0,z_0)$$，

由於$$Q$$不在$$E_1$$與$$E_2$$上($$\because Q$$不在$$L$$上)，

所以$$a_1x_0+b_1y_0+c_1z_0+d_1\neq 0$$  且 $$a_2x_0+b_2y_0+c_2z_0+d_2\neq0$$

我們取$$\alpha=a_2x_0+b_2y_0+c_2z_0+d_2$$，$$\beta=-(a_1x_0+b_1y_0+c_1z_0+d_1)$$，

則滿足 $$(a_2x_0+b_2y_0+c_2z_0+d_2)(a_1x_0+b_1y_0+c_1z_0+d_1)+[-(a_1x_0+b_1y_0+c_1z_0+d_1)](a_2x_0+b_2y_0+c_2z_0+d_2)=0$$

也就是$$\alpha(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+\beta(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0~~(\alpha^2+\beta^2\neq 0)$$的形式。

所以過交線L的平面均可寫成方程式(*)。

綜合上述(1)、(2)、(3)可知，方程式(*)表通過平面$$E_1$$與$$E_2$$的交線的平面族方程式。

在上述証明中，對於不是$$E_1$$與$$E_2$$的平面，均為$$\alpha\neq0$$與$$\beta\neq0$$的情形。

所以我們可以將方程式(*)調整成

$$(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+\frac{\beta}{\alpha}(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0~~\cdots(**)$$，

如果令$$k=\frac{\beta}{\alpha}$$，則方程式變成

$$(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+k(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0~~\cdots\cdots(***)$$

所以當我們所求平面不為$$E_1$$與$$E_2$$的平面時，可以直接將平面族方程式令為方程式$$(***)$$。

同樣的道理，我們也可用向量來表示平面上的直線方程式，

$$ax+by+c=0\Leftrightarrow$$法向量$$\vec{n}=(a,b)$$，

因此由上面的討論，我們不難類推「直線系」概念的由來，此處就不多談。

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)