和算家求橢圓周長的方法（一）（Wasan’s method of finding the formula of the circumference of an ellipse Ⅰ）

Posted on 2014/09/06 in 數學, 數學史 with 沒有迴響 14,182 views

和算家求橢圓周長的方法（一）
（Wasan’s method of finding the formula of the circumference of an ellipse Ⅰ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

相較於圓周長與而言，橢圓周長是早期數學家們感到棘手的問題。一般而言，我們可以利用定積分法，求得橢圓的面積。

首先，不失一般性，我們可把橢圓的長軸固定在 \(x\) 軸的方向上，
則其標準方程式為：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) （長軸半長為 \(a\)，短軸半長為 \(b\)）。
當我們考慮函數 \(y=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\) 時，可以利用定積分求得橢圓面積為第一象限部份面積的 \(4\) 倍（如圖一所示），即 \(ab\pi\)。特別地，當橢圓的長軸與短軸等長（亦即當 \(2a=2b\)）時，可得圓面積公式 \(\pi a^2\)。

圖一\(~~\)橢圓面積為第一象限部份面積(黃色部份)之四倍

至於橢圓周長，若利用弧長的積分公式 \(\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\) 來求其周長，可求得橢圓在第一象限之弧長為 \(\int_0^a\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}}dx\)。然而，此式並無法利用一般的積分方法求得其值。因此，就橢圓而言，並無法利用基礎的積分方法，求得如同圓周長那般的簡單公式 \(2\pi r\)。

江戶時期的日本，有著許多熱衷於各類幾何問題研究的數學家，這些數學家（一般稱他們為和算家）當然不會放過橢圓周長問題。例如最著名的和算家關孝和（Seki Takakazu, 1642?-1708），他在西元1685年所著的《三部抄》〈解見題之法〉裡，便已提出橢圓周長的公式：

\(\sqrt{(2a)(2b)\pi^2+(2a-2b)^2}\)

然而，此公式僅是近似公式，同時，對於此公式的意義與來由，目前數學史界並沒有較好的解釋與理解。有趣的是，雖然該公式只是近似公式，但是，當橢圓之長軸長與短軸長相等時，仍能推導出圓周長公式。

相較起十七世紀末的關孝和以及十八世紀初期、中期的建部賢弘（TakebeKatahiro, 1664-1739）與松永良弼（Matsunaga Yoshisuke, 1692?-1744）等人對求圓周長與圓周率近似值的建樹，和算家們對於橢圓周長問題的研究上，卻始終停滯未有重大突破。對比於和算家們所熱衷的圓周率以及弧長相關研究，橢圓周長問題出現在和算著述中的機會亦明顯較少。一直得等到十九世紀初期，許多以橢圓或側圓為名的著作方大量出現。

例如關流千葉胤秀（Chiba Tanehide,　1775-1849），便於重要的和算教科書《算法新書》（1830）一書中便納入了求橢圓周問題與相關公式：

\(\displaystyle L = \pi (2a – \frac{{{D_0} \cdot 1}}{{{2^2}}}T – \frac{{{D_1} \cdot 1 \cdot 3}}{{{4^2}}} – \frac{{{D_2} \cdot 3\cdot 5}}{{{6^2}}} – \frac{{{D_3} \cdot 5 \cdot 7}}{{{8^2}}} -\ldots )\)

其中，\(D_0=2a\)、\(D_1=D_0T\)、\({D_k} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{{(2k)}^2}}}{D_{k – 1}}T\)，\(T = 1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}}\)。該書主要作為千葉胤秀所開設算學道場中的數學教科書，書中內容包含最簡單的日用算術與珠算，也包含諸如天元術、點竄術、諸約、垛積等關流重要基礎數學知識。同時，書中也納入了諸多與圓、弧、矢、弦、面積、體積、穿去積等幾何知識。不過此書的主要內容仍是以當時和算的基礎知識為主，而非各類艱難問題，由這點來看，求橢圓周長公式的方法，在當時應已是關流和算家以及基層習算者普遍能接受的知識。

至於最早求出正確橢圓周長公式的和算家，應屬關流的和田寧(Wata Yasushi,1787-1840)。可惜的是，他的主要著作因1836年的一場火災而亡佚。所幸他的弟子小出兼政 (Koide Kanemasa 1797-1865) 整理了許多和田寧授予他的書籍，於1842年寫成《圓理算經》一書。他在《圓理算經》的自序中提到：

關流七世和田算學先生，名寧，‥自幼特好數學，入日下誠先生之門，授關流六傳。壯而發志明圓理增約之道、期之終年潛志於此。抑以關流開祖關新助孝和著述《七部集》內求積中心周之術、三世松永安右衛門良弼創制之圓理術、五世安島萬藏直圓之增約截斷術等為階梯，考訂迄是所滯流之圓理難問，始新開術路，著述橢圓周此天地開闢以來，正括橢圓周之始也。

從上述自序可知，和田寧是在閱讀過關孝和、松永良弼以及安島直圓等諸多關流重要和算家的著作後，以前人們的研究成果作為基礎，進而新開術路，處理各類圓理難題。依此序言所述：「著述橢圓周此天地開闢以來，正括橢圓周之始也」，應可斷定至少在關流中，和田寧是最早獨立解決橢圓周長問題的和算家。而小出兼政《圓理算經》書中收錄的求橢圓周問題與所給術文相當於下列展開式：

\(\displaystyle L = \pi (2a – \frac{{{D_0} \cdot 1}}{{{1^2}}}T – \frac{{1 \cdot 3}}{{{3^2}}}T \cdot {D_1} – \frac{{3 \cdot 5}}{{{5^2}}}T \cdot {D_2} – \frac{{5 \cdot 7}}{{{7^2}}}T\cdot {D_3} -\ldots )\)

其中，\(D_0=2a\)、\(D_1=D_0T\)、\({D_k} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{{(k + 1)}^2}}}{D_{k – 1}}T\)，\(T = 1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}}\)。

從現代觀點視之，此橢圓周長公式是正確的。同時，這個橢圓周長公式亦與中算家項名達在《象數一原》之中所列之橢圓周長展開式一致，可謂數學知識多元發現的又一例子。不過，這個公式與本文前述千葉胤秀所提供的公式並不相同，但兩者皆為橢圓周長的正確展開式。此外，值得一提的是，無論是和算家和田寧或者中算家項名達的研究成果，皆意味著他們是在沒有微積分與函數等「現代」數學相關知識背景下，以當代數學家所發展出的相關算學知識作為基礎，獨創而成功地解決了橢圓求周之問題。接下來，筆者利用〈和算家求橢圓周長的方法（二）〉一文，說明和算家和田寧如何求得到橢圓周長無窮展開式的方法。

連結：和算家求橢圓周長的方法（二）

參考文獻：