均分定理

均分定理(Equipartition theorem)
國立臺灣大學物理系博士後研究員 羅雅琳

所謂均分定理是指對於古典系統來說，在當系統處在絕對溫度T之熱平衡下，每個自由度所貢獻的能量權重相同。舉例來說：若欲考慮理想氣體的平均動能，我們可透過馬克士威-波茲曼統計，來得知氣體分子運動時的方均根速率為[1]

\(v=\displaystyle\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}\cdots(1)\)

，其中 \(m\) 為粒子的質量，而 \(k_B=1.38\times 10^{-23}\)(單位：焦耳/絕對溫度)是為了紀念波茲曼在物理上的貢獻，而用其名字來命名的波茲曼常數。

因此，透過公式 \((1)\) 我們可以推得理想氣體分子的平均動能為

\(\epsilon =\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}K_BT\cdots(2)\)

 這個結果可以透過均分定理來理解：定假設一個自由度會因溫度或是熱而擁有的內能為

 \(u=\frac{1}{2}K_BT\cdots(3)\)

則對於一個擁有多個自由度 \(f\) 的系統，其所擁有的能量為 \(\frac{f}{2}K_BT\)。套用到理想氣體的例子中，如圖一所示，粒子有三個自由度可以做平移運動，因此 \(f=3\)，因此平均每個氣體分子的平移動能就由公式 \((2)\) 描述。

能量均分定理亦可被應用至如圖二所示的一維諧振子運動的例子。根據虎克定律，我們可以得知簡諧振子受力 而作簡諧運動，其總能 \(E\) 為動能與彈性位能的總和

\(E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2\cdots(4)\)

，其中 \(m\) 與 \(v\) 分別為簡諧振子的質量與運動速度，而 \(x\) 為簡諧振子的位移，\(k\) 為彈簧的彈性係數。由公式 \((4)\) 我們可以得知，簡諧振子擁有兩個自由度：動能與位能，根據能量均分定理與公式 \((3)\) 我們便可以推得，簡諧振子在絕對溫度 \(T\) 下所擁有的能量，可以表示成

\(E=\frac{2}{2}K_BT=K_BT\cdots(5)\)

由公式 \((5)\) 我們可以得知，簡諧振子所擁有的能量與振盪頻率無關，對於理想的簡諧振子來說，其處在絕對溫度 \(T\) 下，即擁有能量 ，此為古典物理的預測。

此外，英國物理學家瑞立男爵(Lord Rayleigh)，曾將能量均分定理的概念引入詮釋黑體輻射的物理現象，又稱之為瑞立-Jeans定律。瑞立在光波與聲波的研究領域，有卓越的貢獻，例如他於1871年時首度解釋了天空為何是藍色的成因。另外瑞立還發現了惰性氣體氬氣，並由於在惰性氣體上的研究而在1904年獲得了諾貝爾獎。

十九世紀時，科學家利用古典電磁理論來詮釋黑體輻射遭遇了失敗，例如Rayleigh -Jeans定律只有在低頻區吻合實驗結果，在高頻區得到發散的失敗結果，如圖三所示，又稱之為紫外災變（The ultraviolet catastrophe）[2]，其失敗的主要原因乃是：黑體輻射實驗是由外部為絕緣體內部為導體的空腔實驗來實踐，且空腔壁上有一個小洞，如圖四所示。

黑體輻射實驗的詮釋中，瑞立認為，空腔內部帶有特定頻率的電磁波，就像簡諧振子一樣，所以可以套用公式 \((5)\)。但這就表示空腔內部電磁波的能量雖與溫度有關，卻與電磁波之頻率無關，結果由於高頻區的振動模式數目極多，該頻段的所有電磁波振動的能量就隨頻率增大而急遽增加，於是便形成紫外災變。

我們現在已經知道，能量均分定理只適用於能量為連續分佈的場合。當能量量子化的現象開始顯著時，此定理就不正確了，這也是Rayleigh -Jeans定律在高頻區會失效的來源，因為此時相鄰能階的能量差距正比於頻率，量子效應是不能被忽略的。

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參考文獻

[1] Beiser A.(2003), 近代物理, 普林斯頓國際有限公司.

[2] Kutner M. L.(2003), Astronomy: A Physical Perspective, Cambridge University Press.