利用 Gnuplot 軟體繪製似氫原子的軌域形狀（上）

利用 Gnuplot 軟體繪製似氫原子的軌域形狀（上）(Hydrogen-like orbital plots using gnuplot (I))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏

高中或大學化學課程，每當遇到物理化學領域時，原子軌域、波函數 (wave function)、機率密度 (probability density) 等，對一般學子而言就一個抽象了得！連課本中軌域的形狀是怎樣畫出來的也是丈二金剛，摸不著頭腦，既使知道怎麼畫出來的，也找不到適當的軟體，親自體驗一下。專業軟體如 maple、 mathematic 不是太貴，就是太複雜，簡易軟體如 excel，又不符需求，因此這一單元的教材，由於缺乏具體的圖像及做中學的體驗，往往是學子學得較不理想的部分。

最近發現在網路上一直頗為熱門的 gnuplot 繪圖軟體，它是一套跨平臺、小而美、免費的自由軟體，廣泛的應用在各科的學術領域中。國內、外的網站也多有介紹，包括繪製地形地貌、設計統計圖表、展示 3D 圖像的數學函數等，論述不在少數，唯在化學領域的部分，則較少人提及，本文擬以繪製似氫原子的軌域 (hydrogen-like orbital) 形狀為主題，一邊介紹 gnuplot 的使用方法，一邊演示如何透過它畫出軌域的具體形象，提供學子從做中學的經驗和樂趣。

一、gnuplot 簡介

Gnuplot 軟體所佔空間很小，不到 3 Mega，可以直接到其官方網站 (http://gnuplot.info/) 下載 window 的版本。該壓縮檔經成功下載、解壓縮及安裝以後，便可在程式集中選擇 gnuplot 程式並開始執行，此時會有如圖一的一個小視窗跳出。對於熟悉早期 DOS 系統的讀者，對於這種界面一定會覺得格外的親切。小視窗的螢幕中，其最下方一行會出現右列文字：gnuplot>_，有一個閃爍的游標在等待指令輸入。當然不熟悉 DOS 的讀者也勿須擔心，因為下拉式選項的 window 版本也都同時一應俱全。

圖一、gnuplot 的視窗，可在游標閃爍處輸入指令以進行繪圖，或由下拉式選項進行操作（圖片來源：作者製作）

此時先在如圖一的畫面中輸入二道指令，第一個為 set isosample 50,50，設定 isosample，即代表設定在立體圖形中每一條繪圖線被描點的細緻程度，數值愈大圖形愈細緻，若不設定，其內定值為 20,20。第二個指令為 set hidden3d，即設定畫 3D 圖形時，被前面圖形檔住的部分隱藏而不顯現，當然也可以設定為 unset hidden3d，代表可以不受前面圖形的阻檔而直接透視，讓二者都被看見。但是輸入這二個指令後，好像螢幕完全没有反應，此乃尚未正式輸入繪圖指令的緣固，其效果無法顯現。接著若想要繪出下列方程式的 3D 圖形：

$$\displaystyle f(x,y)=\frac{\sin(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

此時在游標列上輸入：splot sin(sqrt(x**2+y**2))/sqrt(x**2+y**2)，在 gnuplot 的語法中，splot 為繪製 3D 圖形的指令（而平面圖形則需使用 plot)，**代表次方、sqrt() 代表開平方，其他如加、減、乘、除，即以大家所熟悉的 +、-、*、/ 表示。當我們按下 enter 時，即跳出另一視窗，將繪製好的圖形顯示如圖二。

圖二、利用 gnuplot 畫出 $$f(x,y)=\frac{\sin(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ 的 3D 圖形（圖片來源：作者製作）

圖二出現高低起伏、深淺得宜的 3D 圖形，其與量子化學中有關似氫原子的軌域形狀頗有相似之處。讀者或許會很奇怪為何簡單的幾個指指令，就能繪出如此複雜的圖形？

事實上這就是 gnuplot 軟體功能強大的所在，它會自動幫你定義合適的 $$x$$、$$y$$ 範圍，然後將 $$(x,y)$$ 相對應的每一點，代入上列函數中算出 $$f(x,y)$$ 的大小，即為 $$z$$ 座標的大小，然後根據 $$(x,y,z)$$ 的座標將圖形一點一點的描繪出來。當然你也可以自行定義 $$x$$，$$y$$ 及 $$z$$ 軸的範圍、圖形的解析度、觀看圖形的視角、座標軸的名稱及圖形的標題等，這正是我們接下來要學習的一部分。

在 gnuplot 的視窗中每次輸入一行指令，對於要設定許多條件的使用者，似乎很不方便，因此也可以使用類似 window 中的記事本，將所有的指令一行一行的編緝妥當後，再儲存成文字檔，如圖三檔名為 fourier.txt 的指令集即為一例。

圖三、利用 window 的記事本將 gnuplot 的指令編寫成一個文字檔 (.txt) （圖片來源：作者製作）

圖三的文字檔以 fourier.txt 存檔後，可在 gnuplot 視窗的游標列上輸入：load “fourier.txt”，讓 gnuplot 讀取檔案後，一次執行一系列的指令以完成任務，當然讀取檔案的路徑必須正確，若不正確則無法順利執行。當內定路徑無法找到檔案時，可利用視窗中 ChDir 的下拉式選項改變讀取檔案的路徑。

圖三的指令集只是一個示範，初學者肯定看不懂，經過一段時間的練習，或許便能達到此出神入化的境界，其中比較困難的指令先略而不談，挑較簡單的部分說明如下：第 $$1$$ 行的 reset 指令是將先前定義過的各項設定還原為預設值，這一點在編緝指令集時很重要，不要忘了在第一行加入這個指令，因為使用者經常會忘記先前下過那些指令，如果没有 reset，難保不會出現不可預期的結果。第 $$2$$ 行的 multiplot，是在同一個視窗（即畫布）中畫出多個 2D 圖形，如果没有設定 multiplot，當下達 plot 指令時只能繪製單個圖形（畫 3D 則使用 splot）。set multiplot layout 2,2，即表示在同一個畫布中畫出二行二列共 $$4$$ 個圖形。

接下來的指令集屬於函數設定及程式控制，程式控制屬於較高階的技巧，我們暫時不會用到，請大家不用擔心，只要經過一段時間的練習，便能駕輕就熟。其大意是做 $$4$$ 次不同階層的傅立葉轉換 (fourier transform)，其結果如圖四。

圖四、使用 multiplot 指令畫出多個 2D 的傅立葉轉換圖形（作者製作）

連結：利用 Gnuplot 軟體繪製似氫原子的軌域形狀（下）

參考文獻

1. gnuplot homepage. http://gnuplot.info/
2. 地圖/統計圖/3d 函數圖/實驗報告圖 — Gnuplot 純畫圖｜”資訊人權貴” 之家。 http://user.frdm.info/ckhung/b/ma/gnuplot.php
3. gnuplotスクリプトの解説｜米澤進吾 ホームページ http://www.ss.scphys.kyoto-u.ac.jp/person/yonezawa/contents/program/gnuplot/index.html
4. 马欢 (2012)。使用 gnuplot 科学作图｜Gnuplot 中文教程。 http://www.phy.fju.edu.tw/files/archive/876_ab57aed9.pdf
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