無母數統計—符號檢定

無母數統計—符號檢定(Non-parameter Statistics: Sign Test)
國立臺灣大學園藝暨景觀學系 李韶凱

一、前言

由過去的經驗，針對平均值的比較，可在抽樣收集數據之後，假設其服從常態分佈，計算樣本的平均值 (mean) 以及標準差 (standard error)，再以常態的檢定方法進行檢驗（參考《兩樣本均值顯著性檢定（上）、（下）》兩篇文章）。然而，如果想檢測的資料無法直接假設其服從特定分布，例如圖一的甲基化微陣列分析結果，應採用無母數 (nonparametric) 統計法進行檢定。本文將介紹無母數統計法中的符號檢定 (sign test) 方法，檢測單一中位數或成對群體的分佈是否相同。

圖一、甲基化微陣列分析結果。（本文作者李韶凱繪製，資料來源：參考文獻 3）

二、符號檢定 Sign test

符號檢定的特色是選用中位數 (median) 取代樣本均值 (mean) 為整體代表，可降低離群值 (outliers) 對整個抽樣分佈造成的影響，是相對於均值較穩健 (robust) 的統計量。以下舉一個單一樣本中位數的檢測例子。

某餐廳推出新套餐，想調查顧客對該商品的接受度，依喜好程度由低到高共 1 ~ 10 分（1 分表示極度不喜歡，10 分表示極度喜歡），調查 26 位顧客得到結果如下：

\(3~~~6~~~4~~~9~~~1~~~10~~~5~~~2~~~7~~~5~~~2~~~1~~~9\)

\(8~~~3~~~9~~~10~~~1~~~1~~~6~~~9~~~1~~~2~~~7~~~2~~~8\)

我們可用符號檢定分析顧客對新套餐是否有特別的喜好程度，若樣本中位數接近 5.5，表示顧客對新套餐無特別偏好。我們將樣本 26 個觀測值分別取「+」、「-」號代表與大於 5.5 與小於 5.5 的情況（表一），若觀測值等於中位數時，則剔除該筆資料，同時減少一筆樣本數。假定 D 代表「+」的個數，我們可以假設 D 服從二項分佈，且當顧客對新套餐無特別偏好，大於 5.5（符號為「+」）的機率約為 \(p = 0.5\)。

表一、顧客對新套餐的喜好程度評分。（本文作者李韶凱製作）

由二項分布期望值以及變異數的定義（參考《伯努力試驗與二項分布》一文）：

\(E(D)=n\times 0.5=\frac{n}{2}\)

\(Var(D)=n\times 0.5\times 0.5=\frac{n}{4}\)

假設 \(\alpha=0.05\) 的雙尾檢定，虛無假設及對立假設分別為下：

\( H_o:\text{中位數}=5.5\)      \( H_a:\text{中位數}\ne5.5\)

根據中央極限定理，檢定統計量計算方式如下：

\(\displaystyle Z=\frac{|D-E(D)|}{\sqrt{Var(D)}}=\frac{|D-\frac{n}{2}|}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\sim N(0,1)\)

由收集的數據可得：

\(D=12,E(D)=13,Var(D)=\frac{13}{2},Z=0.39\)

查 Z 表得 \(\alpha = 0.05\) 的 Z 值為 1.96 大於 0.39，因此無法拒絕 \(H_0\)，表示此抽樣資料可能表示顧客對新套餐的喜惡程度相同，或是無意見。

符號檢定同時也可用於配對樣本的檢定。以檢定某品牌兩款手機於各據點的銷售情況，欲檢驗是否 A 款式較 B 款式受消費者喜愛為例：

表二、兩款手機的銷售情況。（本文作者李韶凱製作）

假設 \(\alpha=0.05\) 的「單尾」檢定，虛無假設及對立假設分別為下：

\(H_0:M_A=M_B\)   \(H_a:M_A>M_B\)

其中 \(M_A\) 與 \(M_B\) 分別為 A 款式與 B 款式手機銷售量的中位數。由於此樣本數較小(n < 20)，上述檢定統計量需額外進行連續性校正，亦即分子需減 \(\frac{1}{2}\)：

 \(\displaystyle Z =\frac{|D-E(D)|-\frac{1}{2}}{\sqrt{Var(D)}}=\frac{|D-\frac{n}{2}|-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\sim N(0,1)\)

\(D=9, E(D)=6, Var(D)=3, Z=1.44\)

查 Z 表得 \(\alpha = 0.05\) 的 Z 值為 1.65 大於 1.44，因此無法拒絕 \(H_0\)，表示此抽樣資料可能表示消費者對兩款的喜惡程度相同，或是無特別偏好。

參考文獻

1. 陳順宇、鄭碧娥 (2004)。統計學。第十六章—無母數方法。華泰文化
2. 唐麗英 (2015)。統計學(二)：第十四章 無母數統計檢定—國立交通大學開放式課程。http://ocw.nctu.edu.tw/course/stat032/14.4.pdf
3. Warden, C. (2014). COHCAP Analysis of CpG Island Methylation for Illumina 450k Methylation Arrays. Bioinformatics Core, City of Hope Medical Center.