機率 | 科學Online

賭金分配問題 (The Problem of Division of the Stakes)(一)

2013/10/25

賭金分配問題 (The Problem of Division of the Stakes)(一)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

機率史上，賭金分配問題曾引起許多數學家們的討論，筆者將這些內容和數據略作調整，使得能夠用一道題目為例，分別呈現出數學家–帕西歐里、塔爾塔利亞、費馬和巴斯卡–對於賭金分配的看法：

假設甲乙兩人進行一場公平的比賽，且甲乙兩人實力相當，各出資 $12$ 枚金幣作為賭注，必須要贏 $6$ 局才能贏得賭金，目前甲以 $5:3$ 領先。在此假設下，若比賽因故終止，則此時應如何分配賭金？

帕西歐里 ( Luca Pacioli, 1445-1509 ) 的解法根據已贏得的局數比例作分配，甲得 ${\rm{24}} \times \frac{{\rm{5}}}{{\rm{8}}} = {\rm{15}}$ 枚金幣、乙得 ${\rm{24}} \times \frac{{\rm{3}}}{{\rm{8}}} = {\rm{9}}$ 枚金幣。

塔爾塔利亞 ( Niccolò Tartaglia, 1499-1557 ) 注意到帕西歐里的答案是錯誤的，因為若假設局數比為 $1:0$，則甲拿走所有的賭金，這顯然毫無道理。他認為甲乙兩人相差 $2$ 局，這 $2$ 局的差距是總局數 $6$ 局的三分之一，甲應拿走乙方賭金的三分之一，也就是甲得 ${\rm{12}} + \frac{{{\rm{(5 – 3)}}}}{{\rm{6}}} \times {\rm{12}} = {\rm{16}}$ 枚金幣，乙得 ${\rm{12 – }}\frac{{{\rm{(5 – 3)}}}}{{\rm{6}}} = {\rm{8}}$ 枚金幣。

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蒙提霍爾問題（二）請問瑪麗蓮

2013/10/25

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蒙提霍爾問題（Monty Hall problem）(二) 請問瑪麗蓮
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

連結：蒙提霍爾問題（一）決勝21點

回顧 1990 年 9 月 9 日，瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特 (Marilyn vos Savant) 在《繽紛遊行》(Parade) 的「請問瑪麗蓮」專欄中，回答讀者提出的三門問題，沃斯‧薩萬特是金氏世界紀錄最高智商 $228$ 的人，她認為選擇換的勝算比較大。為了說服讀者，她請大家想像有 $1,000,000$ 扇門，她說：

你選擇 $1$ 號門，而主持人知道門後有什麼，他總是避開有獎的那扇門，除了 $777,777$ 號門外，把別的門都打開了。這時你會毫不猶豫地換到另一扇門，是吧?」

換句話說，如果你選擇 $1$ 號門，只有 $1/1,000,000$ 的機率猜中，而汽車在其他門後的機率是 $999,999/1,000,000$。當主持人打開 $999,999$ 扇門中的 $999,998$ 扇門，但絕對不會打開有汽車的那扇，現在拜主持人之賜，$1$ 號門除外，只剩下的這扇門代表所有 $999,999$ 扇門的價值，$999,999/1,000,000$ 的機率全都集中到這一扇門。

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蒙提霍爾問題（一）決勝21點

2013/10/25

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蒙提霍爾問題 (Monty Hall problem)（一）決勝21點
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

在 2008 年上映的美國電影《決勝21點》中，劇中主角班 (Ben Campbell)在非線性代數的課堂上與授課教授米奇(Mickey Rosa) 有一段精彩的對話：

米奇：「假設你正參加一個遊戲節目，你有機會從三扇不同的門裡選一扇，其中一扇門後面有一輛新車，另外兩扇門後面各有一頭山羊？你要選擇哪一扇門？」

班：「一號門。」

米奇：「好！這時節目主持人，順便一提，他知道門後的秘密，他去打開另一扇門，比方說他開了三號門，後面是一頭山羊。這時節目主持人說：「班，你想要堅持選擇一號門，還是換成二號門？」現在問題是–改變選擇(換另一扇門)是否對你有利?」

班：「是的」

米奇：「記住！主持人知道那輛車在哪裡，你怎麼知道他不是在耍你？……」

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班佛定律

2013/10/25

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班佛定律 (Benford’s Law)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

現行的高中教科書中，有個非常有意思的題目：

審計工作者會使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是 $$a$$ 者的比例約為 $$\log(1+\frac{1}{a})$$」﹒根據班佛法則﹐銀行存款的最高位數字是 $$4,5,6$$ 或 $$7$$ 者的比例約有
$$(1)~20\%$$ $$(2)~30\%$$ $$(3)~40\%$$ $$(4)~50\%$$ $$(5)~60\%$$ .

這個題目由簡單的對數運算性質，如下列算式得到答案 $$(2)~30\%$$。

$$\log \left( {1 + \frac{1}{4}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{5}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{6}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) \\= \log \left( {\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} \right)=\log 2\approx 0.301$$

「班佛定律」又稱為首位數字法則 ( First-Digit Law )。

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機率論源於賭博嗎?

2013/08/28

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機率論源於賭博嗎?
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

「一門開始於研究賭博的科學，竟然成為人類知識中最重要的學科，這無疑是令人驚訝的事情。」 ── 拉普拉斯

歷史上，機率理論的起源之一為賭博問題，討論如何在骰子或紙牌遊戲中訂立公平的賭注。十六世紀義大利的醫師兼數學家卡丹諾 ( Gerolamo Cardano, 1501-1576 )在其著作《機遇賽局之書》( Book on Games of Chance ) 中寫到︰

卡丹諾

「我認為自己能勝任賭博的研究有兩個理由。首先考慮到它有用的特性，因為它是有用的，所以必須對它的用處做一種有系統的研究。即使一般人認為賭博是一種罪惡，但想到有這麼多人在賭博，它似乎就成了與生俱來的原罪。就算只為了這個理由，也應該好好研究，就像醫生討論那些無可救藥的疾病。第二，很多哲人都有一種習慣，為了解救深陷罪惡的人，自己深入其中去瞭解它。例如心理學家研究憤怒一樣。」

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機率空間（5）以機率之名（In the name of probability）

2011/09/27

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機率空間（5）以機率之名（Probability space-5. In the name of probability）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（4）機率空間之例

摘要：本文指出即使懂得計算機率，但對於機率的解釋仍有許多觀念需要釐清。

有些人覺得機率是騙人的，有些人說他比較能接受數學，更多的人實在不理解機率究竟是什麼。由於學過排列組合，他們知道該如何求出買一張樂透彩券，會中頭獎之機率，會開出連號之機率等。

但所求出來之機率值，其意義為何，常就無法說清。在修了更多機率論的相關課程後，他們知道有幾種對機率的解釋。如相同的可能性，頻率對機率的解釋，及主觀的解釋等。最後還以機率空間來解釋機率。儘管如此，由於機率就是會與實際的經驗接觸，對於一堆蘋果，有人說共有 $$36$$ 個，可以數一遍便知所言是否屬實。但對於一個被稱作公正之銅板，怎樣才知是否為真？就頗傷腦筋了。

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機率空間（3）機率空間（Probability space-3. Probability space）

2011/09/27

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機率空間（3）機率空間（Probability space-3. Probability space）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（2）機率的意義

摘要：機率空間是機率論的基礎，本篇從集合論出發，介紹Kolmogorov的現代公設觀點，並以此定義機率函數(probability function)，並條列出機率函數的一些性質。

眾所周知，數學中各領域的起源，通常都是始於解決實際的問題，此時不論專業或業餘，很多人都可參與探討。而後逐漸深入，就只有少數專業人士能理解其中的內涵了。

以幾何學為例，其發源是始於尼羅河氾濫後的測量問題。平面幾何學中的諸多美妙結果，兩千三百多年前，就已被歐幾里得(Euclid，約西元前375-300年)，收錄於其幾何原本(Elements)一書中。當年畢達哥拉斯(Pythagoras，約西元前580-500年)等著名數學家所探討的問題，不過是今日中學數學課程的內容。而一般人若翻閱大學數學系的幾何學教科書，可能不會感覺這是在講幾何的書。

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機率空間（2）機率的意義（Probability space-2. The meanings of probability）

2011/09/27

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機率空間（2）機率的意義（Probability space-2. The meanings of probability）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（1）機率論的誕生

摘要：本篇從一個生雙胞胎的機率問題出發，說明機率一詞的三種不同解釋：古典機率、頻度機率、主觀機率，並提出許多例子，來釐清這些觀點。

著名的法國數學家及天文學家，有法國牛頓之稱的拉普拉斯(Pierre Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827)曾說『大部分生活中最重要的疑問，都只是機率的問題』。的確，處在此一隨機世界，隨機現象(random phenomenon)處處可見。很多觀測事先並不能預知結果，因此事件的成立與否(或說發生與否，正確與否)，往往並非只有是、否兩種選擇。還可以是“有可能是”(當然也就“有可能否”)。

而隨著科技日漸發達，對精確度的要求也隨之提高，不能只含混地說“有可能”，而要更明確地表示其可能性之大小。今日機率一詞可說到處出現，人們常想知道某事件發生的機率。雖人人對機率朗朗上口，但一般人是否真了解機率的意思呢？

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機率歷史

2011/09/05

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機率歷史 (The History of Probability)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

自古以來，對於不可預知的事情，人們總是充滿著好奇，並且在好奇心的驅使下，往往產生了一些或對或錯的法則。姑且不論其動機為何，這些法則卻可能因此開創另一領域或學科，機率論（theory of probability）的發展便是如此。

西方學者於 17 世紀開始對機率理論產生興趣，其理論背景最初只是為了處理如擲骰子、輪盤、撲克牌等遊戲的賭金分配問題。其中擲骰子早期流行於埃及、印度及東方民族，希臘人把擲骰子遊戲的發明，歸功於特洛伊城被圍困時的帕拉墨得斯，當時的人們都十分熱衷此遊戲。古羅馬人也不干示弱，克勞狄皇帝還親自撰寫有關擲骰子的文章。而在《摩軻婆羅多》這部有 3000 年的印度敘事詩中，紀錄了一位狂熱的擲骰子賭徒的不幸，他在輸光了一切之後，竟然拿自己的生命做賭注，真是令人惋惜的一段歷史。

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