微積分初階－歷史發展的眼光（3）微積分是「以有涯逐無涯」的學問（First Course in Calculus－A Historical Approach 3.From finite processes to infinite processes）

微積分初階－歷史發展的眼光（3）微積分是「以有涯逐無涯」的學問（First Course in Calculus－A Historical Approach 3.From finite processes to infinite processes）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題

大家對於切線與面積當然都有直觀的認識，但這還不夠，必須進一步加以精鍊。更明確地說，我們必須在概念上先澄清下面兩個問題：

什麼叫做切線？什麼叫做面積？

要回答這兩個問題，都要使用到無窮步驟（infinite processes），這是微積分特有的標誌。

首先我們討論，在函數 $$y=F(x)$$ 圖形上一點的切線。切線是直線，由於相異兩點才決定一直線，現在只通過一點就欲求切線，這是整個困難的所在。然而我們注意到，在通過 $$P$$ 點的其他直線中都跟曲線至少有另一交點 $$Q$$，這種直線叫做割線。它提供給我們掌握切線的契機：考慮割線 $$PQ_1$$，$$PQ_2$$，．．．，然後讓 $$Q_n$$ 沿著曲線逐漸趨近於 $$P$$，乃至「無窮地接近」於 $$P$$，但不能碰觸 $$P$$，那麼割線的「極限」（limit）就是通過 $$P$$ 點的切線，參見圖３。

整個關鍵要點在掌握住斜率。

考慮 $$x$$ 的變化量 $$\Delta{x}$$，於是割線的斜率為 $$\displaystyle\frac{\Delta{F(x)}}{\Delta{x}}=\frac{F(x+\Delta{x}-F(x))}{\Delta{x}}$$，

現在讓 $$\Delta{x}$$ 越來越小，乃至趨近於 $$0$$，亦即取極限：$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$

這個極限值就是切線斜率，記為 $$DF(x)$$ 或 $$\displaystyle\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$。我們用圖４來表示：

其次，我們討論函數 $$y=f(x)$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上所圍成的平面領域之面積。整個想法是：首先將閉區間 $$[a,b]$$ 作分割，對應於一個分割就作出許多小長條矩形，將它們的面積都加起來，得到如圖５的左圖陰影領域之近似面積，然後讓分割一直加細下去，那麼近似面積的「極限」就是所欲求的面積，參見圖５之右圖。

求切線（微分）是「易算難明」，求面積（定積分）是「易明難算」。表面上看起來，兩者似乎不相干，實則為互逆的密切關係！

如何求算切線與面積呢？經過約兩千年的追尋，從古希臘開始，一直到了$$17$$世紀的後半葉，牛頓（Newton,$$1642-1727$$）與萊布尼茲（Leibniz,$$1646-1716$$）兩人才獨立地看出：

透過容易的「反求切線」（反微分法），
恰好可以解決困難的「求面積問題」（即定積分）

從而，微分法揭開了一切運動與變化現象、求極值、求切線以及求面積等諸問題，於是微積分就誕生了。微分法的是「兩面刃」，正向的「微分」可以解決求切線問題，而逆向的「反微分」可以解決千古的「定積分」難題，簡直是削金斬泥。

莊子說：

吾生也有涯，如地無涯，以有涯逐無涯，殆矣。

這是古人面對無窮時的絕望與無助。然而微積分的求切與求積恰好是透過「極限」（或無窮小量）從「有涯」飛躍到「無涯」，定義出微分與積分，從而創立微積分。

因此我們可以說：

微積分是以有涯逐無涯，成矣。

牛頓與萊布尼茲兩人獨立發明微積分，雖然他們的切入方法不同，但是卻殊途同歸，英雄所見略同。牛頓由運動現象的里程函數與速度函數的關係切入；而萊布尼茲由差和分切人，再作連續化。兩人同樣都看出微積分的兩個主要結果：

1. 微分與積分的互逆性；
2. 微積分學根本定理。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（４）阿基米德求拋物線弓形領域的面積

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems,Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill,Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963