微積分初階－歷史發展的眼光（7）牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法（First Course in Calculus－A Historical Approach 7.Newton’s differential calculus）

微積分初階－歷史發展的眼光（７）牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法（First Course in Calculus－A Historical Approach 7.Newton’s differential calculus）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（6）費瑪的擬似相等法求極值

牛頓讀到費瑪求極值的著作，立即悟出微分法的概念。這是微積分史上的偉大時刻（a great moment）。我們列出下面的對照表，求 $$f(x)=ax-x^2$$ 的極值：

若採用現代微積分的術語與記號來表達，就只是兩行的兩個操作而已，既簡潔又漂亮：

　　　　　　　　操作微分：$$\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}\equiv f'(x)$$

　　　　　　　　解分程式：$$f'(x)=0$$

計算如下：

$$\begin{array}{ll}\displaystyle f'(x)&=\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{(a(x+\varepsilon)-(x+\varepsilon)^2)-(ax-x^2)}{\varepsilon}\\&\displaystyle=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{a\varepsilon-2x\varepsilon-\varepsilon^2}{\varepsilon}=\lim_{\varepsilon\to 0}(a-2x-\varepsilon)=a-2x\end{array}$$

再解方程式 $$f'(x)=0$$，即解 $$a-2x=0$$，得到 $$x=\frac{a}{2}$$。

這個操作程序就是微分法，恰好是牛頓要探討運動現象時，可以用來描述速度與加速度的工具！ 

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（８）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963