用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在空間中平面與直線的章節時，常會遇到這樣的問題：

求過二平面\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)的交線，且過點\(Q(2,-1,-1)\)的平面方程式。

基本上，這類問題的解法常是先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一點坐標，就能變成「求包含已知一線及線外一點的平面方程式」的基本問題類型。解法如下：

兩平面交線\(L\)的方向向量\(\vec{v}\)同時垂直兩平面的法向量，
故\(\vec{v}~//~(2,1,0)\times(0,1,2)=(2,-4,2)=2(1,-2,1)\)，可取\(\vec{v}=(1,-2,1)\)。
接著，在交線\(L\)取一點\(P\)，需同時滿足\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)，
故取\(z=0,~y=0,~x=2,~\therefore P(2,0,0)\)， 
所求平面包含直線\(L\)與點\(Q(2,-1,-1)\)，
因此，法向量\(\vec{n}~//~\vec{v_L}\times\vec{PQ}=(1,-2,1)\times(0,1,1)=(-3,-1,1)\)，
取\(\vec{n}=(3,1,-1)\)，故所求平面方程式為 \(3x+y-z-6=0\)

然而，此法過程較為繁複。在高中教學現場，老師通常會再提供另一種作法：利用「平面族」，將過已知兩平面交線的任何平面，表示成這兩個平面的線性組合，再進行處理。

設所求的平面為 \((2x+y-4)+k(y+2z)=0\)，
由於過點\((2,-1,-1)\)，代入上式，得\(k=-\frac{1}{3}\)。
所求平面方程式為\((2x+y-4)+(-\frac{1}{2})(y+2z)=0\)，
即 \(3x+y-z-6=0\)。

儘管這個方法快速，卻有著許多問題必須詳加說明，例如

問題一：什麼是平面族？
問題二：為什麼過已知兩平面交線的任何平面，一定可以表示成這兩個平面的線性組合呢？

現行的課程大綱並未納入這個定理，許多人對它只停留在「知其然，不知其所以然」的階段。事實上，透過向量觀點的切入，可為我們提供理解的途徑。本文的目的，就是想由此出發，把它說個清楚，並且提供一些可用平面族解決的例題。最後，再說明平面族對於理解三元一次聯立方程組的幾何意義與行列式表示法的連結，有著很大的助益。

首先，先來介紹「平面族」的定義：

通過一條直線之所有平面所成的集合叫做平面族。

不過，利用兩平面的「線性組合」來建構一個新的平面的想法，是由何而來呢？這個定理總不會憑空冒出的吧？一般能查到的資料通常都是「事後諸葛亮」的作法，告訴你兩件事：(一)利用兩平面方程式的線性組合所作出的方程式仍是個平面；(二)它也會包含這已知兩平面的交線。在此，筆者試圖利用高中數學知識建構出一個清楚地說明，而非只是給個「事後諸葛亮」的証明。

一般而言，想要描述空間中的平面方程式，向量的觀念不可或缺，正是利用與平面垂直的向量(稱為法向量\(\vec{n}\))來決定平面的方向性。事實上，理解「平面族」的重要關鍵是向量的線性組合。因此，先來複習一下：在兩個不平行向量\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)所決定的平面上，任一個向量\(\vec{w}\)均可寫成\(r\vec{u}+s\vec{v}\)，其中\(r,s\in R\)，而\(r\vec{u}+s\vec{v}\)的形式就稱\(\vec{u}\)和\(\vec{v}\)的線性組合。

好了，該是將平面族的觀念引出的時候。

如圖，已知平面\(E_1:a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\)與\(E_2:a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\)

相交於\(L\)，則\(\vec{n_1}=(a_1,b_1,c_1)\)、\(\vec{n_2}=(a_2,b_2,c_2)\)為平面\(E_1\)與\(E_2\)的法向量。

若設過交線\(L\)的任一平面為\(E_3\)，且\(\vec{n_3}\)為平面\(E_3\)的法向量。

由於\(\vec{n_1}\)、\(\vec{n_2}\)和\(\vec{n_3}\)均垂直於直線\(L\)，所以三個向量共平面。
(不妨想像三個向量可自由移動，從\(L\)上同一點出發)

由向量的線性組合可知

\(\begin{split}\vec{n_3}&=\alpha\vec{n_1}+\beta\vec{n_2} = \alpha ({a_1},{b_1},{c_1}) + \beta ({a_2},{b_2},{c_2})\\ &= (\alpha {a_1} + \beta {a_2},\alpha {b_1} + \beta {b_2},\alpha {c_1} + \beta {c_2})\end{split}\)

設\(P(x_0,y_0,z_0)\)為\(L\)上的一點，因此，平面\(E_3\)的方程式可以寫成

\(\begin{multline*}(\alpha {a_1} + \beta {a_2})x + (\alpha {b_1} + \beta {b_2})y + (\alpha {c_1} + \beta {c_2})z\\= (\alpha {a_1} + \beta {a_2}){x_0} + (\alpha {b_1} + \beta {b_2}){y_0} + (\alpha {c_1} + \beta {c_2}){z_0}\end{multline*}\)

以 \(\alpha\)，\(\beta\)為準，整理得

\(\begin{multline*}\alpha[({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z) – ({a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_0})]\\+ \beta [({a_2}x + {b_2}y + {c_2}z) – ({a_2}{x_0} + {b_2}{y_0} + {c_2}{z_0})] = 0\end{multline*}\)

又\(P(x_0,y_0,z_0)\)為\(L\)上的一點，當然也滿足平面\(E_1\)與\(E_2\)的方程式，

所以\({a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_0} + {d_1} = 0\)，\({a_2}{x_0} + {b_2}{y_0} + {c_2}{z_0} + {d_2} = 0\)。

代入上式，即得 \(\alpha ({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}) + \beta ({a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}) = 0\)

因此，「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」，這個推論看來就自然而然了。

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)