三角函數值表
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
三角函數值表：現行的三角函數值表，是將三角函數的近似值算出並製成表格，表從 $$0^\circ$$ 到 $$90^\circ$$ 間(以 $$10’$$ 為單位，$$1^\circ=60’$$)的各種三角函數值，超過 $$90^\circ$$ 或小於 $$0^\circ$$ 的角，再利用廣義角的性質轉換。表中最左一行由上而下呈現的角度是遞增情形，對應最上一列由左而右有 $$\sin$$、$$\cos$$、$$\tan$$、$$\cot$$、$$\sec$$、$$\csc$$ 各個函數符號；表中最右一行由下而上呈現的角度是遞增情形，對應最下一列由左而右印有 $$\cos$$、$$\sin$$、$$\cot$$、$$\tan$$、$$\csc$$ 和 $$\sec$$ 各個函數符號，因此，查表的簡易口訣為「左上右下」，下圖一為三角函數值表的部分表格。
從托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theorem to Angle sum and difference identities)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
在高中課程的三角函數單元提及了許多三角公式，像和(差)角公式、倍角公式及半角公式。事實上，這些三角公式(主要是正弦和餘弦函數)都是托勒密（C. Ptolemy, c. 100-178 C.E.）在發展弦表的過程中，提出的一系列命題(有興趣的讀者可參見《The Almagest》一書)。
從課程的安排上，不難發現和角與差角公式處於非常基礎的地位，這個現象在托勒密提出的脈絡中也是相符。然而，托勒密如何發現和角公式？若要讀者好奇地往前追溯，將會驚奇地發現和角公式和托勒密定理有著密切的關係。因此，從托勒密定理出發，也是介紹和角公式一個很好的切入點。
正弦定律 (The Sine Law)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
在現行高中課程中，對於正弦定律的推導常是透過三角形面積公式為媒介：
如圖一，給定三角形 \(\Delta ABC\) ，則三角形 \(\Delta ABC\) 的面積為
\(\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\)
因此，\(\displaystyle\frac{{\sin C}}{c} = \frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin A}}{a} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
正弦函數與週期性（Sine Function and Periodicity）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
摘要：本文舉例說明日常生活中隱藏的正弦函數。
高中數學很大部分的課程是在學習基本函數圖形：高一的多項式函數、指數函數、對數函數，高二以後的三角函數… 。
不同的基本函數有不同的特性，多項式是最簡單的函數，曾有一首打油詩描述多項式的特色：「加減乘除都好算，曲線優美不間斷，多項式，讚！」用數學語言更精確的說明，「曲線優美」就是微分連續，「不間斷」是指其為連續函數，不過此特性並非那麼獨特，指對數或三角函數也都是「曲線優美不間斷」，多項式更重要的特色是運算簡單，所以我們很喜歡用多項式逼近其他函數；指數函數的特色是同樣時間間隔內成長倍數相同」；那麼，三角函數的特性是什麼呢？
三角函數的疊合 (Simplifying \(\sin x+\cos x\))
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編
摘要：在學會正弦、餘弦的基本函數圖形及其平移伸縮後，很自然會想知道正弦與餘弦組合（\(y = A\sin x + B \cos x\) ）圖形的樣貌，即「三角函數的疊合」。疊合有非常多有趣的切入點，本文簡單點出幾個不同的想法。
正規課本內容
不論任何版本的課本，第一個例子幾乎都是 \(y=\sin x +\cos x\) ，想辦法將 \(y=\sin x +\cos x\) 湊成和角公式，技巧是提出以 \(A\)、\(B\) 為兩股的斜邊，即 \(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\) ，就能夠將 \(y=\sin x+\cos x\) 化簡成單一三角函數：
\(\begin{array}{ll} y &=\displaystyle \sin x+\cos x \\&=\displaystyle\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4})\\&=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})~~~~~~~~~(1)\end{array}\)
三角函數積與複數 (Complex Number and Product of Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
連結：三角函數和與複數
摘要：不同於上篇利用圖形對稱性的作法，這裡將棣美弗定理（de Moivre’s formula）、二項式定理（Binomial theorem）作連結，發現其中的恆等式，進而幫助化簡正弦連乘。
題目：試求 \( \displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} \) 之值。
三角函數和與複數（Complex Number and Sum of Trigonometric Functions）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
摘要：本文介紹一題舊教材常見的和差化積問題，將其與 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根連結，直接利用圖形的對稱性即可看出解答。
以下問題為99課綱前高一和差化積常見的練習題，筆者曾經非常不喜歡此題，直至學到了棣美弗定理及 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根後，有了新的看法，故本文上篇的重點不在於發展技巧。和差化積容易衍伸出需要技巧的難題，在99課綱已被刪掉，不過此題搭配 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根一起看還是很有趣，藉由本文提出與各位分享。
Sine字源（The Etymology of Sine）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯
摘要：簡述「正弦」的觀念及符號，從希臘，經阿拉伯、拉丁文到英文的文字演變。
英文本來有 $$\text{sin}$$ 這個字，讀 $$/s\iota n/$$，是（宗教、道德方面的）罪惡的意思。可是，正弦的 $$\text{sin}$$ 其實是 $$\text{sine}$$ 的縮寫（雖然並沒有縮掉很多），讀 $$/ sa\iota n /$$。而這個英文字，是從拉丁文 $$\text{sinus}$$ 簡化而來。而 $$\text{sinus}$$ 又是什麼意思呢？以下就講這一段故事。
三次方根與三角函數 (Cubic Roots and Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
摘要：解三次方程式用卡當公式，卡當公式需開複數的立方根，開複數立方根可用棣美弗定理，棣美弗定理又和三角函數脫不了關係，換言之即使低次如三次方程式也和三角函數密切相關，本篇文章就上述幾者的關係做個討論。
棣美弗定理與複數方根
棣美弗最有名的定理，就是高中課本裡的「棣美弗定理」：
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$
※ 此公式棣美弗證明了 $$n$$ 為自然數時成立，1749年時尤拉則證明了 $$n$$ 為實數也成立。
在高中學習棣美弗定理最主要能幫助我們找複數的方根。
海龍公式的各種證明（下）(The Various Proofs of Heron’s FormulaⅡ)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯
連結：海龍公式的各種證明（上）
摘要：本文介紹海龍公式的各種證明。
接著來看李善蘭在《天算或問》中的證法，主要是論述等式 \((s-a)(s-b(s-c)=sr^2\)，成立。然後兩邊再同乘 \(s\)，即得 \(s^2r^2=s(s-a)(s-b)(s-c)\)。