指數函數(Exponential Functions)

指數函數(Exponential Functions)
國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

若我們將紙對摺為兩半再撕開，會得到兩張紙；將這兩張紙疊在一起再對摺撕開時，則會得到四張紙。很明顯的，對摺並撕開的次數與紙的數量之間有一個對應的關係。假設原本有 $$P$$ 張一樣大的紙，例如（沿長邊）對摺撕開 $$P$$ 張A3大小紙，會得到 $$2P$$ 張A4大小的紙。進行以上的對摺撕開活動，則次數和紙張數的對應關係如下表：

應用次方寫法，我們則可以將以上關係列通式為 $$f(n)={P}\times{a}^n$$，其中 $$n$$ 代表對摺撕開的次數。當次數為 $$0$$ 的時候就是原來的 $$P$$ 張紙，而因為 $$a^0=1$$，所以 $$f(0)=P$$ 就表現出紙張的初始量。

一般而言，當 $$a>0$$ 且不等於 $$1$$時，我們稱 $$f(n)=Pa^x$$ 這樣的函數為指數函數，其中 $$P>0$$ 稱為係數，它也是此指數函數的初始值。一旦寫成數學函數形式，則可代入的 $$x$$ 就不限於 $$0$$ 或正整數了。以前面的對摺撕開為例，當次數為 $$-1$$ 可以理解為兩張一樣大的紙合併起來。例如將兩張A4大小的紙（沿長邊）拼起來，就變成一張A3大小的紙。我們不討論 $$a=1$$ 的指數函數，原因之一是 $$f(x)={P}\times{1^x}=P$$ 根本就是常數函數，所以不討論這種（無聊的）狀況。

在直角坐標平面上，將 $$x$$ 與 $$y=f(x)$$ 表現為坐標是 $$(x,y)$$ 的點，就會得到函數圖形。以下為僅代入 $$x={-2}$$、$$-1$$、$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$ 等整數時，所得到的點。

雖然對摺撕開的活動所產生的指數函數並沒有代入分數的意義，但有許多其他情況是可以代入分數的，例如培養時間和培養皿中乳酸菌的數量關係。假設剛開始的乳酸菌數量為 $$P$$，每過一天會增為 $$2P$$，則培養 $$x$$ 天後的乳酸菌數量 $$y$$ 也符合指數函數 $$f(x)=P2^x$$。如果經過半天的培養時間，就是 $$x=0.5$$ 的意思，而 $$f(05)=\sqrt{2}{P}$$。同理，代入 $$x=0.25$$ 就是培養了六小時的意思。

代入 $$x$$ 為 $$0$$ 至 $$4$$ 之間的整數和二分數、四分數，畫出 $$(x,f(x))$$ 對應的點如下圖。

若不斷地增加畫圖的點數，最後會出現一條平滑的曲線，如下圖。

這就是指數函數 $$f(x)=2^x$$ 的（一部份）圖形。

因為當 $$a>b$$ 總是使得 $$2^a>2^b$$，所以隨著 $$x$$ 越來越大，$$y=2^x$$ 也越來越大。這種情況稱為函數遞增。而遞增函數的圖形特徵，則是曲線朝著坐標平面的右上方延伸。另外，不論 $$x$$ 為何，總是使得 $$2^x>0$$，所以 $$f(x)=2^x$$ 的函數值恆正，它的圖形與 $$x$$ 軸沒有任何交點。雖然上圖的左下角，看起來函數圖形與 $$x$$ 軸很接近，但是它們是永不相交的。

當 $$P>0$$、$$a>1$$，一般的指數函數 $$f(x)=Pa^x$$ 也都有類似 $$f(x)=2^x$$ 的以下特徵：

1. $$f(x)$$ 恆正，函數圖形與 $$x$$ 軸不相交
2. $$f(x)$$ 遞增：$$a>b$$ 總是使得 $$f(a)>f(b)$$，函數圖形朝右上方延伸
3. $$f(0)=P$$，函數圖形總是通過 $$(0,P)$$

再考慮對摺撕開紙張的活動，如果一開始紙張的面積是 $$P$$，則每對摺撕開一次，紙張的面積變成 $$\frac{P}{2}$$。在此情況下，我們該討論 $$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$ 這種指數函數。或者，如果培養皿中原本有 $$P$$ 個乳酸菌，在投藥之後，每過一天會消滅一半的乳酸菌，也使得我們討論 $$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$。

$$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$ 的（部分）函數圖形如下。

因為當 $$a>b$$ 總是使得 $$\frac{1}{2^a}<\frac{1}{2^b}$$，所以 $$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$ 遞減。因為 $$2^x$$ 恆正，所以 $$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2^x}$$ 也恆正。例如，理想上來說，紙張無限制地對摺下去會讓面積愈來愈小，但永遠不會是零（就算小到奈米尺度，仍然不是零；也許以後可以在這麼小的紙上寫些什麼）。所以函數圖形在右下角雖然看起來與 $$x$$ 軸很貼近，但是並不相交。

一般而言，當 $$P>0$$、$$0<a<1$$，指數函數 $$f(x)=Pa^x$$ 也都有以下特徵：

1. $$f(x)$$ 恆正，函數圖形與 $$x$$ 軸不相交
2. $$f(x)$$ 遞減：$$a>b$$ 總是使得 $$f(a)<f(b)$$，函數圖形朝又下方延伸
3. $$f(0)=P$$，函數圖形總是通過 $$(0,P)$$

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