多項式不等式（下）：高次不等式（Polynomial inequality(II): inequality of higher order）

多項式不等式（下）：高次不等式（Polynomial inequality(II): inequality of higher order）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

連結：多項式不等式（上）

若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是個 $$n$$ 次多項式，且係數都是實數時，
則 $$f(x)$$ 一定可以因式分解成實係數一次因式或實系數二次因式的乘積，

$$\begin{multline*}f(x)=a_n(x-{\alpha}_1)(x-{\alpha}_2)\mbox{…}(x-{\alpha}_k)(x^2-\beta_1x+\gamma_1)(x^2-\beta_2+\gamma_2)\\\mbox{…}(x^2-\beta_mx+\gamma_m)\end{multline*}$$

，其中 $$k+2m=n$$，且 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1=0$$，$$x^2-\beta_2x+\gamma_2=0$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-\beta_mx+\gamma_m=0$$ 均無實根（參閱拙文，〈實係數多項式方程式虛根成對定理〉），也就是說 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1$$，$$x^2-\beta_2x+\gamma_2$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-\beta_mx+\gamma_m$$ 均恆正。

由上述可知，要解不等式 $$f(x)>0$$，$$f(x)\geq{0}$$，$$f(x)<0$$，$$f(x)\leq{0}$$，僅需要考慮 $$a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)$$ 即可。接下來，舉實例說明比較清楚。

例題1：解不等式 $$x^6-1>0$$

解：因式分解 $$x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$

其中 $$x^2+x+1$$ 與 $$x^2-x+1$$ 恆正，消去它們並不會影響原式之正負，

即 $$x^6-1$$ 與 $$(x-1)(x+1)$$ 同號，故 $$x^6-1>0$$ 與 $$(x+1)(x-1)>0$$ 有相同的解。

再討論 $$(x+1)(x-1)$$ 在各區間之正負：當 $$x>1$$，$$(x+1)(x-1)$$ 之值為正；

當$$-1<x<1$$ 時，$$(x+1)(x-1)$$ 之值為負；當 $$x<-1$$ 時，$$(x+1)(x-1)$$ 之值為正。

即得不等式之解為 $$x>1$$ 或 $$x<-1$$。此過程可用下圖表示。

例題2：解不等式 $$(x-1)(x-2)(x-3)<0$$

解：由 $$(x-1)(x-2)(x-3)$$ 在各區間之正負可得下圖，

由圖可知不等式之解為 $$2<x<3$$ 或 $$x<1$$。

例題3：解不等式 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3\geq{0}$$

解：先考慮 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3=0\Longrightarrow{x}=-1,0.5,1$$。

再考慮 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3>0$$，即 $$x\neq{-1}$$ 且 $$x\neq{0.5}$$ 且 $$x\neq{1}$$，

此時 $$(x-0.5)^2$$ 與 $$(x-1)^2$$ 恆正，

消去它們並不會影響 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3$$ 之正負，

故 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3>0$$ 與 $$(x+1)(x-1)>0$$ 之解相同。

由例題1知 $$(x+1)(x-1)>0$$ 之解為 $$x>1$$ 或 $$x<-1$$。

所以，$$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3\geq{0}$$ 之解為 $$x\geq{1}$$ 或 $$x<-1$$ 或 $$x=0.5$$。

綜合上述三個例題，

解高次不等式 $$f(x)>0$$，$$f(x)\geq{0}$$，$$f(x)<0$$，$$f(x)\leq{0}$$ 可分成三個步驟：

1. 先將 $$f(x)$$ 因式分解成實係數一次因式或實係數二次因式的乘積；
2. 將 $$f(x)$$ 中的恆正的因式消去，剩下全是一次因式的乘積；
3. 討論所剩一次因式乘積的正負區間，由此找出不等式之解。