微積分初階－歷史發展的眼光（4）阿基米德求拋物線弓形領域的面積（First Course in Calculus－A Historical Approach 4. Archimedes’ Quadrature of the parabola）

微積分初階－歷史發展的眼光（4）阿基米德求拋物線弓形領域的面積（First Course in Calculus－A Historical Approach 4. Archimedes’ Quadrature of the parabola）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（3）微積分是「以有涯逐無涯」的學問

微積分學的發展歷史源遠流長，我們只選取古希臘偉大的數學家阿基米德（Archimedes, 287-212 B.C.）以及17世紀初的費瑪（Fermat, 1601-1665）當作樣本來介紹。

首先我們看阿基米德如何使用「窮盡法」（Method of Exhaustion）來求拋物線弓形領域的面積。

【問題１】考慮拋物線 $$y=x^2$$，被直線 $$y=1$$ 所截，得到一個拋物線弓形領域，即圖６的陰影部份。求拋物線弓形領域的面積。

阿基米德的嚴格工具是窮盡法（Method of Exhaustion）與歸謬法。

後者是古希臘文明的獨創，它是論證與思考的利器，是征服無窮步驟的妙方。

如圖７，將拋物線弓形的領域逐步挖出三角形，只要持之以恆，終究會「窮盡」整塊領域。阿基米德的做法如下：

第一回合：挖出 $$\Delta{AOB}$$（最大的一塊牛排），它的面積為 $$1$$。
第二回合：挖出對稱的兩塊 $$\Delta{AQO}$$ 與 $$\Delta{BPO}$$，它們的面積和為 $$1/4$$。
第三回合：挖出四塊更小的三角形，它們的面積和為 $$1/16$$。
按此要領一直挖下去，最終得到一個無窮級數：

$$\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}+\cdots~~~~~~(1)$$

叫做阿基米德級數（Archimedean series），它堪稱為數學史上第一個無窮級數。這些三角形都叫做阿基米德三角形（Archimedean triangles）。

【習題１】求各回合的阿基米德三角形之面積。

今日我們利用無窮等比級數的求和公式，立即就得到

$$\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}+\cdots=\frac{1}{1-1/4}=\frac{4}{3}~~~~~~(2)$$

另外，我們也可以採用甲乙兩人對局（game）的觀點來證明此式。考慮邊長為 $$2$$ 的正方形，面積為 $$4$$，參見圖８：

第一回合：將正方形平分成四個小正方形，甲取一個，乙取兩個，剩下一個。
第二回合：將剩下一個正方形再平分成四個小正方形，甲取一個，乙取兩個。
按此要領一直做下去，最終會窮盡。

甲所取得的正好是 $$(1)$$ 式的無窮級數，並且甲乙兩人以 $$1:2$$ 來瓜分，因此甲分得 $$\frac{1}{3}$$，乙分得 $$\frac{2}{3}$$。總量為 $$4$$，故甲得到 $$\frac{4}{3}$$，從而證得 $$(2)$$ 式。這是一個美妙的論證。

在圖９裡，$$y$$ 軸將拋物線弓形的領域平分，一半的面積為 $$\frac{2}{3}$$，從而得到下面的結果：

【定理１】（阿基米德定理）圖９陰影領域的面積為 $${\int}_0^1{x}^2{dx}=\frac{1}{3}$$。

【註】這雖然是間接求得的結果，但卻是數學史上第一個定積分公式。計算得巧妙，然而算得相當辛苦。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（５）費瑪的動態窮盡法求面積

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill,Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press, 2005.
6. Toeplitz：The Calculus, A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963