微積分初階－歷史發展的眼光（5）費瑪的動態窮盡法求面積（First Course in Calculus－A Historical Approach 5. Fermat’s method of dynamic of exhaustion）

微積分初階－歷史發展的眼光（5）費瑪的動態窮盡法求面積（First Course in Calculus－A Historical Approach 5. Fermat’s method of dynamic of exhaustion）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（4）阿基米德求拋物線弓形領域的面積

費瑪採用動態窮盡法（Method of dynamic exhaustion）來求積。他在1636年得到的下面的結果：

【例１】$$\displaystyle{\int}_0^b{x}^p{dx}=\frac{1}{p+1}b^{p+1}$$，$$p\in{N}$$.

【第一種算法１】（Fermat採用的等比分割法）

取公比 $$r~~(0<r<1)$$，對 $$[0,b]$$ 作等比分割，由右端點 $$b$$ 向左端點 $$0$$：

$$b>br>br^2>br^3>\mbox{…}$$

求不足的近似面積：

$$S_r=(b-br)(br)^p+(br-br^2)(br^2)^p+(br^2-br^3)(br^3)^p+\mbox{…}$$

$$=b^{p+1}r^p(1-r)(1+r^{p+1}+r^{2p+2}+r^{39+3}+\mbox{…})$$  無窮等比級數

$$=\displaystyle b^{p+1}r^p(1-r)\frac{1}{1-r^{p+1}}$$

$$=\displaystyle b^{p+1}r^p\frac{1}{(1-r^{p+1})/(1-r)}$$

$$=\displaystyle\frac{b^{p+1}r^p}{1+r+r^2+\cdots+r^p}$$

現在讓 $$r\to 1$$（$$r$$ 由小於 $$1$$ 的一方趨近於 $$1$$），分割會越來越精細，乃至每一小段都趨近於 $$0$$，就得到

$$\displaystyle \lim_{r\to 1}S_r=\lim_{r\to 1}\frac{b^{p+1}r^p}{1+r+r^2+\cdots+r^p}=\frac{b^{p+1}}{p+1}$$

 若採用等分割，計算較麻煩。需要用到下面的補題 $$1$$。

【補題１】設 $$p$$ 為自然數，則 $$1^p+2^p+\cdots+n^p=\displaystyle\frac{n^{p+1}}{p+1}+$$（$$n$$ 的 $$p$$ 次多項式）。

【習題２】請利用數學歸納法證明補題１。

由補題１我們立即得到：

【補題２】$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}$$

【例１的第二種算法】（採用等分割法）

• （i）分割：將區間 $$[0,b]$$ 分割為 $$n$$ 等份 $$0<\frac{b}{n}<\frac{2b}{n}<\cdots<\frac{(n-1)b}{n}<b$$
• （ii）取樣：$$\zeta_k\in[x_k,x_{k+1}]$$，$$k=1,2,\cdots,n$$
• （iii）求近似和：
  不足的近似和 $$\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{kb}{n}\right)^p\frac{b}{n}=\frac{b^{p+1}}{n+1}[1^p+2^p+\cdots+(n-1)^p]$$
  過剩的近似和 $$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{(k+1)b}{n}\right)^p\frac{b}{n}=\frac{b^{p+1}}{n^{p+1}}[1^p+2^p+\cdots+n^p]$$而真正的面積 $${\int}_0^b{x}^p{dx}$$ 夾在 $$T_n$$ 與 $$S_n$$ 之間：$$T_n\leq{{\int}_0^b}x^p{dx}\leq{S_n}$$
• （iv）取極限：由補題２知 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{b^{p+1}}{p+1}$$。
  同理可得 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n=\frac{b^{p+1}}{p+1}$$ ，從而 $$\displaystyle\int^b_0 x^pdx=\frac{1}{p+1}b^{p+1}~~~~~~~~~\mathrm{QED}$$

Fermat 採用等比分割法的美妙是，立即可以推廣到有理數次方的情形：

【例２】$$\displaystyle{\int}_0^b{x}^{p/q}{dx}=\frac{b^{(p/q)+1}}{(p/q)+1}=\frac{q}{p+q}b^{(p+q)/q}$$

【證明】參見圖10，取公比 $$r$$，$$0<r<1$$。對 $$[0,b]$$ 作分割，由右端點向左端點：

$$x_0=b>x_1=br>x_2=br^2>\mbox{…}$$

求近似面積

$$\begin{array}{ll}\displaystyle S_r&\displaystyle=\sum_{n=0}^\infty x^{p/q}_n(x_n-x_{n+1})=\sum_{n=0}^\infty (br^n)^{p/q}(br^n-br^{n+1})\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}(1-r)\sum_{n=0}^{\infty}r^{n(p+q)/q}\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}(1-r)\sum_{n=0}^{\infty}s^n~~~~~~,(s=r^{(p+q)/q})\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}\frac{1-r}{1-s}\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}\frac{1-t^q}{1-t^{p+q}}~~~~~~,(t=r^{1/q})\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}\frac{1+t+\cdots+t^{q-1}}{1+t+\cdots+t^{p+q-1}}~~~~~~,(1-t^n)=(1-t)(1+t+\cdots+t^{n-1})\end{array}$$

現在讓 $$r\to{1}$$ (於是 $$t\to{1})$$ 得到

$$\displaystyle\lim_{r\to 1}S_r=\int^b_0 x^{p/q}dx=\frac{q}{p+q}b^{(p+q)/q}~~~~~~~~~\mathrm{QED}$$

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（６）費瑪的擬似相等法求極值

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press, 2005.
6. Toeplitz：The Calculus, A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963