微積分初階－歷史發展的眼光（8）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎（First Course in Calculus－A Historical Approach 8. Problem of motion leads to Calculus）

微積分初階－歷史發展的眼光（8）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎（First Course in Calculus－A Historical Approach 8. Problem of motion leads to Calculus）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（7）牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法

運動現象的研究是牛頓關切的核心問題，從而揭開微積分之謎。下面我們就利用高速公路上的車子之運動來解說這一切。

台灣的高速公路從基隆到高雄、屏東，是歪七扭八的，但是我們可以想像把它拉直（作個想像的實驗！）得到一條直線。再將直線上每一點都賦予一個笛卡兒坐標，使得兩點的坐標差就代長了高速公路上相應兩個地點之間的里程（距離）。這是真實的高速公路的抽象化、理想化或模型。

【註】此地坐標原點並不重要，可以任意選定，直正重要的是兩點的坐標之差。

好了，現在想像車子為一個質點（這又是一種理想化）在此直線上運動。車上有兩個儀器：一個是速度表（speedometer），其實是速率表；另一個是里程表（odometer）。

我在 $$t_0$$ 時刻恰好在高速公路上的某一位置，例如泰山收費站，我看到里程表上顯示著 $$83423$$，記此數為 $$x(t_0)$$，並稱為這個位置的坐標為 $$x(t_0)$$，其餘類推。這樣直線就賦予坐標，而得到一個坐標軸，於是在任何時刻 $$t$$，車子的位置就可以由里程表讀得 $$x(t)$$，並且得到時刻 $$t$$ 與里程表的讀數 $$x(t)$$ 之間的對應關係：

$$t\longrightarrow x(t)$$

這是一個函數，記為 $$x=x(t)$$，其中 $$x$$ 隨著 $$t$$ 的變動而變動。函數 $$x=x(t)$$ 可以完全地描述車子的位置，故又叫做位置函數。

如果我的車子是全電腦設備，就可以圖解出 $$x$$ 與 $$t$$ 的關係，例如：

甲、速度與微分

由里程表我們可讀得位置函數 $$x=x(t)$$，即知道任何時刻 $$t$$ 車子的位置（坐標）。光是這樣，對於運動的了解還是不夠的。實際上，車子是時快時慢的，我們希望知道這快慢的詳細情形。換句話說，我們要知道速度函數 $$v=v(t)$$。

【問題３】（求切問題）
已知位置函數 $$x=x(t)$$，如何描述車子的速度函數 $$v=v(t)$$？

也許你會說，這還不簡單，只要讀車子的速度表就知道了。這是對的。不巧的是，如果我的速度表壞了，怎麼辦？我能夠知道時刻 $$t=9$$ 的速度 $$v(9)$$ 嗎？

我請朋友坐在旁邊，幫忙記錄里程表上面的數字：在 $$t_0$$ 時刻得到 $$x(t_0)$$，在 $$t_1$$ 時刻得到 $$x(t_1)$$，作計算 $$\frac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}$$ 就得到車子在 $$t_0$$ 到 $$t_1$$ 這一時段的平均速度（距離÷時間＝平均速度）。

今考慮車子在 $$t=9$$ 的瞬間速度。令時間的變化量為 $$\Delta{t}$$，而相應里程的變化量為 $$\Delta{x}=x(9+\Delta{t})-x(9)$$，從而平均速度為 $$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$。

現在讓 $$\Delta{t}$$ 足夠小，則 $$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ 與 $$v(9)$$ 的差別也會很小；乃至讓 $$\Delta{t}$$ 越來越小，那麼 $$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ 也會越來越趨近於一個數，這個數就是 $$v(9)$$，表示我的車子在時刻 $$t=9$$ 的瞬間速度，簡稱為 $$t=9$$ 的速度。

我們把這件事記為 $$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=v(9)$$

或者 $$\displaystyle \lim_{t\to 9}\frac{x(t)-x(9)}{t-9}=v(9)$$

此地 $$\lim$$ 是英文 limit（極限）這個字的縮寫。

式子 $$\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=v(9)$$ 表示當 $$\Delta{t}$$ 趨近於 $$0$$ 時，$$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ 就趨近於 $$v(9)$$ 的意思。

【註】$$\Delta$$ 是希臘字母，讀成delta，這是指「差」（difference）之意。

一般而言，對任何時刻 $$t$$，$$\frac{x(t+\Delta{t}-x(t))}{\Delta{t}}$$ 稱為在時刻 $$t$$ 與 $$t+\Delta{t}$$ 之間的平均速度。（注意：$$\Delta{t}$$ 可大於$$0$$，也可小於 $$0$$。）當 $$\Delta{t}$$ 趨近於 $$0$$ 時，如果$$\frac{x(t+\Delta{t}-x(t))}{\Delta{t}}$$ 會趨近於某個數，則稱此數為 $$t$$ 時刻車子的速度，記為

$$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=v(t)=Dx(t)=x'(t)$$

由此我們得到一個新的函數 $$v=v(t)$$ 叫做車子的速度函數。

從位置函數 $$x=x(t)$$ 經由上述的程度得到速度函數 $$v=v(t)$$ 就叫做微分（或導微），記為 $$v(t)=Dx(t)$$。

對於速度函數 $$v=v(t)$$ 我們再作一次如同上述的操作，就得到加速度函數 $$a=a(t)$$：

$$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=a(t)=Dv(t)=v'(t)$$

總之，里程表提供給我們位置函數 $$x=x(t)$$，利用微分法就可求得速度函數 $$v=v(t)$$。事實上，這就是先前介紹過的求切線斜率，本質上完全相同。

乙、里程與積分

現在我們考慮另一個問題，假設我的車子之里程表壞了，只剩下速度表可用。

【問題４】（反求切問題）
已知速度函數 $$v=v(t)$$，那麼從時刻 $$t=a$$ 至 $$t=b$$，我的車子走了多少里程？

我們把閉區間 $$[a,b]$$ 分割成 $$n$$ 小段：

$$a=t_1<t_2<\mbox{…}<t_k<t_{k+1}<\mbox{…}<t_{n+1}=b$$

從 $$t_1=a$$ 到 $$t_2$$ 是一段，$$t_2$$ 到 $$t_3$$ 是一段，$$\mbox{…}$$，$$t_k$$ 到 $$t_{k+1}$$ 是一段，$$\mbox{…}$$，$$t_n$$到$$t_{n+1}=b$$ 是一段。分段最好是分得夠多，每段不太長，則每一小段的速度變化不太大。對於從 $$t_k$$ 到 $$t_{k+1}$$ 這一小段，它的長度記為 $$\Delta{t_k}=t_{k+1}-t_k$$，在某一瞬間 $$c_k\in[x_k,x_{k+1}]$$，我瞄一下速度表，知道當時速度為 $$v(c_k)$$，於是在此段時間內大約走了 $$v(c_k)\cdot{\Delta{t_k}}$$ 的里程，所以全部里程大約是

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}v(c_k)\cdot\Delta t_k\equiv v(c_1)\cdot\Delta t_1+v(c_2)\cdot\Delta t_2+\cdots+v(c_n)\cdot\Delta t_n$$

這個大約值與我怎麼「分割成小段，隨意瞄眼查速」有關係，但是，只要分得夠細，而且速度函數 $$v=v(t)$$ 很好（例如連續），就不會太離譜。當然，正確的答案就必須求極限了。我們把這個極限記成：

$$\displaystyle\int^b_av(t)dt=\lim\sum^n_{k=1}v(c_k)\cdot \Delta t_k~~~~~~~~~(3)$$

這就是前面所講過的定積分之定義。

丙、微分與積分的關係：微積分學根本定理

我們說過，由位置函數 $$x=x(t)$$，經由微分就得到速度函數 $$v=v(t)=Dx(t)$$。反過來，對速度函數 $$v=v(t)$$ 作積分 $${\int}_a^b{v}(t)dt$$ 就得到車子從時刻 $$a$$ 到時刻 $$b$$ 所走的里程。

另一方面，這個里程也可以從里程表讀出來，就是 $$x(b)-x(a)$$。換言之，我們有下面的重要結果：

$$\displaystyle\int^b_av(t)dt=x(b)-x(a)~~~~~~~~~(4)$$

這就是微積分根本定理（the fundamental theorem of Calculus）的內容，$$(4)$$ 式又叫做 Newton-Leibniz 公式（簡稱N-L公式），這是微積分中最最重要的一個公式。

【定理２】（微積分根本定理）

如果 $$DF(x)=f(x),\forall{x}\in[a,b]$$，則有

$$\displaystyle\int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(5)$$

總之，牛頓對於運動現象（力學）的研究，得到微分與積分，更看出微積分根本定理，從而發明微積分，而微積分的發展又促使力學的研究一日千里，這是相輔相成的。數學和物理學的密切關連是天經地義的。微積分促成牛頓力學、萬有引力定律的誕生，終於導致十七世紀的科學革命。

【例３】設 $$n$$ 為一個自然數，因為 $$D(\frac{1}{n+1}x^{n+1})=x^n$$，所以由 N-L 公式得到

$$\displaystyle \int^b_a x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\Big|^b_a=\frac{1}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})~~~~~~~~~(6)$$

特別地我們有

$$\displaystyle \int^b_0 x^ndx=\frac{1}{n+1}b^{n+1},~~~\forall n=1,2,3,…~~~~~~~~~(7)$$

以及 $$\displaystyle\int^1_0 x^2dx=\frac{1}{3}~~~~~~~~~(8)$$

【註】$$(8)$$ 式就是阿基米德公式，$$(7)$$ 式是 $$1660$$ 年左右由費瑪、Pascal 以及 Roberval 等人，用各種巧妙方法算出來的，而且都是各案解決。比較起來，N-L公式是一種普遍的系統解法，這才真正符合數學家追求「萬人敵」的普遍方法。

丁、微積分的簡單圖解

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（９）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963