微積分初階－歷史發展的眼光（9）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分（First Course in Calculus－A Historical Approach 9. From Calculus of Difference and Summation to Calculus of Differentiation and Integration）

微積分初階－歷史發展的眼光（9）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分（First Course in Calculus－A Historical Approach 9. From Calculus of Difference and Summation to Calculus of Differentiation and Integration）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（8）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎

這一節我們介紹萊布尼茲如何由差和分走到微積分。關於發明微積分這件事情，萊布尼茲走著跟牛頓不同的路徑，但是殊途同歸。按數學常理，我們先從最簡單的情況思考起，亦即線段的差和分。

甲、從線段的差和分到微積分

在實數線上，考慮 $$A$$ 與 $$B$$ 兩點，坐標分別為 $$a$$ 與 $$b$$，參見圖14。

【問題５】線段 $$AB$$ 或閉區間 $$[a,b]$$ 的長度是多少？

顯然是 $$b-a$$，但這是平凡的答案。若就此打住，我們就得不到深刻的結果。下面我們要來施展「有限步驟的分析與綜合法」，由此就可以逐步尋幽探徑，從差和分走入微積分的天地。

$$(\mathrm{i})$$ 出發點

將線段或閉區間 $$[a,b]$$ 分割成 $$n$$ 小段，分割點為：

$$a=x_1<x_2<\mbox{…}<x_k<x_{k+1}<\mbox{…}<x_{n+1}=b$$

第 $$k$$ 小段為 $$[x_k,x_{k+1}]$$，其長度為

$$\Delta{x_k}=x_{k+1}-x_k,~~~k=1,2,\mbox{…},n$$.

這是作有限步驟的分析（即分割）。$$\Delta{x_k}$$ 叫做差分，參見圖15。

將 $$n$$ 小段的長度相加起來：$$\Delta{x_1}+\Delta{x_2}+\mbox{…}+\Delta{x_n}$$，叫做綜合，我們簡記成 $$\sum^n_{k=1}\Delta x_k$$，叫做和分，代表求和之意，$$\sum^n_{k=1}$$ 表示從第 $$1$$ 項加到第 $$n$$ 項。顯然我們可以得到：

$$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}\Delta x_k=x_{n+1}-x_1=b-a~~~~~~~~~(9)$$

推而廣之，假設 $$(a_n)$$ 為一個給定的數列，如何求和 $$\sum_{k=1}^na_k?$$

【定理３】（差和分學根本定理）

如果可以找到另一個數列$$(b_n)$$，使得$$a_k=\Delta{b_k}=b_{k+1}-b_k$$，$$\forall{k}=1,2,\mbox{…},n$$，那麼就有

$$\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^{n}_{k=1}\Delta b_k=b_{n+a}-b_1~~~~~~~~~(10)$$

$$(\mathrm{ii})$$ 中途的跳板

再來我們要往無窮步驟的分析與綜合邁進，為了進行得平順起見，我們考慮一個中途的跳板。現在想像將線段 $$[a,b]$$ 分割成 $$M$$ 小段，其中 $$M$$ 為很大很大的一個自然數，第 $$k$$ 小段的長度改記為 $$\delta x_k$$ ，$$k=1,2,\mbox{…},M$$。再將這 $$M$$ 小段的長度相加起來，就得到

$$\displaystyle S^M_{k=1}\delta x_k=b-a~~~~~~~~~(11)$$

【註】記號 $$\sum$$ 是希臘字母，讀作Sigma，表示「求和」之意。S 是拉丁文 Summa 的第一個字母，也表示「求和」之意。

此地我們用到了長度具有加性（additivity）的性質，也就是線段切成很多小段之後，再將各小段的長度加起來就等於原線段的長度，沒有損失掉。面積也具有加性，但是鑽石的價格就不具有加性。

現在我們想像作無窮步驟的分析與綜合，讓 $$M$$ 越來越大，乃至趨近於無窮大，這個無窮大是「非同小可的無窮大」。於是就從「有涯」飛躍到「無涯」。

$$(\mathrm{iii})$$ 終點站

將閉區間 $$[a,b]$$ 分割為「無窮多」段（想像實驗），每一段都變成是「無窮小量」（infinitesimal），記為 $$dx$$，叫做微分運算，參見圖16。再將這無窮多段的「無窮小量 $$ds$$」連續相加起來（即積分），就得到

$$\displaystyle\int^b_a dx=b-a~~~~~~~~~(12)$$

此式叫做完美的積分公式（the perfect integral formula）。

我們也可以想像：給一個點 $$x$$，在閉區間 $$[a,b]$$ 中變動，考慮它的微分 $$dx$$，想像成在 $$x$$ 點處的無窮小變化量，再從 $$a$$ 到 $$b$$ 做積分。

注意到，無窮小量 $$dx$$ 是經過無窮步驟的分割才得到的，簡直已經沒有長度，根本無法表現為線段。但是在圖16中，為了視覺的方便起見，我們把它作圖成有長度的線段。不過，用不正確的圖，卻要作正確的論證。

【註】“$${\int}$$”是積分的記號，而“$${\int}_a^b$$”表示從 $$a$$ 到 $$b$$ 「連續求和」，又叫做積分。$$a$$ 叫做積分的下限，$$b$$ 叫做積分的上限。完美的積分公式 $${\int}_a^b{dx}=b-a$$ 表示將 $$dx$$ 從 $$a$$ 到 $$b$$ 積分（連續累積）起來就得到 $$b-a$$。

我們做成如下的對照表：

這就解決了千古大難題，古希臘哲學家一直困擾著：由沒有長度的「點」，累積成有長度的線段，這種「無中生有」的難題。「點」的長度不可積分，但是把點的長度詮譯為「無窮小$$dx$$」就可積分了。

【習題３】有人說：永恆就是一生走過的道路，它含在每一瞬的微步之中。請你用微積分來表達。

在圖17中，兩線段 $$\overline{AB}$$ 與 $$\overline{CD}$$，一長一短，$$P$$ 點對應 $$Q$$ 點，故兩線段的點一樣多，但長度不同。因此，線段的長度不是「點」而是「無窮小量」累積出來的，這是微積分的偉大勝利。

惠施說：

無厚，不可積也，其大千里。（見《莊子》天下篇）

現在有了微積分，讓我們的觀點提升，從原先古老的「無長之點不可積也，其大千里」，改為「無窮小量可積也，積出千里」：

$$\displaystyle{\int}_0^{1000}dx=1000-0=1000$$

【註】在微積分史上，無窮小量是引起最多爭議的一個概念。它具有雙重矛盾的性格：要多小就有多小，但是又不等於 $$0$$。換言之，它具有一個大神秘：可跟 $$0$$ 任意靠近，但是又不能碰觸 $$0$$。在實際使用上，它有時不等於 $$0$$，有時又等於 $$0$$。

【習題４】如果一個實數具有「要多小就有多小」的性質，證明它必為 $$0$$。

有了無窮小量 $$dx$$，對於函數 $$y=f(x)$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上所圍成領域的面積萊布尼茲用 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 來表達。這個記號的意思是說：無窮多個無窮小的面積 $$f(x)dx$$（高×無窮小的底），讓 $$x$$ 從 $$a$$ 到 $$b$$ 連續地求和（致積），即積分。這是很自然且抓住本質的美妙記號。

乙、函數的微積分：聞一知無窮

根據上述，對於線段 $$[a,b]$$ 作有窮步驟與無窮步驟的分析與綜合，我們就得到三個美妙的三合一公式：

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}\Delta x_k=b-a\rightarrow S^M_{k=1}\delta x_k=b-a\rightarrow \int^b_a dx=b-a$$

這只是冰山的一角或太平洋的一滴水。我們要把它們推廣到一般的函數

$$y=F(x),~~~x{\in}[a,b]$$

從冰山的一角看來整座的冰山，或從一滴水見出太平洋，成為：

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}\Delta F(x_k)=F(b)-F(a)\\\displaystyle\rightarrow S^M_{k=1}\delta F(x_k)=F(b)-F(a)\\\displaystyle\rightarrow \int^b_a dF(x)=F(b)-F(a)$$

從一個特殊的函數 $$y=x$$，飛躍到無窮多個相當任意的函數 $$y=F(x)$$，這是「聞一知無窮」的喜稅，豈止是「聞一知十」！在數學中，這是經常發生的事情，「無窮」恰好是構成數學美的要素之一。

下面我們來詳細解說。把函數 $$y=F(x)$$ 的圖形想成是山坡的陵線，$$F(x)$$ 表示在 $$x$$ 點處的海拔高度。現在想像我們在假日要去登這座山，沿著山坡的曲線從 $$P$$ 點登到 $$Q$$ 點。參見圖18。

【問題６】我們總共爬升的高度是多少？

答案顯然是 $$F(b)-F(a)$$。我們要再透過「分析與綜合」來認識這個答案。

現在對閉區間 $$[a,b]$$ 作分割：

$$a=x_1<x_2<x_3<\mbox{…}<x_{n+1}=b$$

相應地，產生閉區間 $$[F(a),F(b)]$$ 的一個分割：

$$F(a)=F(x_1)<F(x_2)<F(x_3)<\mbox{…}<F(x_{n+1})=F(b)$$

我們想像將登山的路徑作成 $$n$$ 個台階，高度是適合人來走路的步幅。

第 $$k$$ 階的高度為 $$\Delta{F(x_k)}\equiv{F(x_{k+1})}-F(x_k)$$，$$k=1,2,…,n$$。接著將所有 $$n$$ 階的高度全部相加起來，就得到：

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}\Delta F(x_k)=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(13)$$

如果是小青蛙要來登山，那麼台階的高度要小一點，階數要作得更多。我們想像作成 $$M$$ 階，其中 $$M$$ 為很大很大的自然數，第 $$k$$ 階的高度為

$$\delta F(x_k)\equiv F(x_{k+1})-F(x_k),~~~k=1,2,…,M$$

再將這 $$M$$ 階的高度相加起來，就得到：

$$S^M_{k=1} \delta F(x_k)=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(14)$$

最後是無窮小的精靈要來登山，山坡必須作成無窮多階，相應於 $$x$$ 點的階高為無窮小 $$dF(x)\equiv{F(x+dx)}-F(x)$$。反過來，將無窮多段的無窮小段 $$dF(x)$$，從 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 連續累積起來，就得到下面的 $$(15)$$ 式：

$$\displaystyle \int^b_a dF(x)=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(15)$$

只要運用一點想像力，配合萊布尼茲優秀的記號，這些就都相當直觀顯明。我們也稱 $$(15)$$ 式為完美的積分公式，這是 $$(12)$$ 式的推廣。

對於 $$(15)$$ 式我們解釋如下：將線段（區間） $$[F(a),F(b)]$$ 分割成無窮多段的無窮小段 $$dF(x)$$，這叫做分析或微分。反過來，將無窮多段的無窮小段 $$dF(x)$$，從 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 連續累積起來就得到 $$(15)$$ 式，這叫做綜合或定積分。

差和分的連續化、無窮小化、無窮化，就得到微積分。反過來，微積分的離散化、有窮化，就得到差和分。

對萊布尼茲來說，有了完美的積分公式 $$(15)$$，千古的求積分難題就容易解決了。

觀察 $$(15)$$ 式與 $${\int}_a^b{f(x)dx}$$，就可看出：如果我們可以找到一個函數 $$F(x)$$，使得

$$dF(x)=f(x)dx~~~~~~~~~(16)$$

那麼透過 $$(12)$$ 式就得到

$$\displaystyle{\int}_a^b{f(x)}dx={\int}_a^b{dF(x)}=F(b)-F(a)$$

我們進一步來分析 $$(16)$$ 式的意思：$$dF(x)=f(x)dx$$ 就是

$$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$$ 或 $$DF(x)=f(x)$$

仍然是回歸到微分法！給 $$f(x)$$，求$$F(x)$$，使得 $$DF(x)=f(x)$$，這是反微分操作。

【定理４】（微積分根本定理）

如果 $$DF(x)=f(x)$$，那麼就有

$$\displaystyle \int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(17)$$

因此，牛頓與萊布尼茲走入微積分的路徑雖然不同，但卻是殊途同歸！

【例４】$$D(4x^3-4x^2+x)=12x^2-8x+1$$。此微分公式在例12中會用到。

連結：微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963