微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數（First Course in Calculus－A Historical Approach 10. Limit, Infinitesimal and Continuity）

微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數（First Course in Calculus－A Historical Approach 10. Limit, Infinitesimal and Continuity）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（9）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分

甲、極限

極限概念是用來從「有涯」飛躍到「無涯」的工具。對於它，我們採取直觀的了解，因為這差不多是人類的良知良能。但是極限的嚴格定義，即函數的極限之 $$\varepsilon-\delta$$ 定式以及數列的極限之 $${\varepsilon}-N$$ 定式，對初學者來說又是一件艱難的事情，跟無窮小量不相上下。總之，要征服「無窮步驟」，不論是採用「無窮小量的論述法」或「極限的論述法」都會有基本上的困難。

因為無窮小量雖然好用，但是其邏輯基礎比極限更深奧，所以傳統的微積分教科書都選擇建立在極限概念上面。

牛頓與萊布尼茲約在1680年發明微積分，經過200年，極限的嚴格定義與實數系 $$\mathbb{R}$$ 的建構才完成（約在1880年左右），從此微積分的基礎奠定，其間大家都採用直觀的「無窮小量的論述法」或「極限的論述法」來講述微積分。

無窮小量的邏輯基礎一直要等到1960年代才完成。其後有人嘗試用「無窮小量的論述法」寫微積分教科書，但是都沒能流行。

在微積分中，極限分成數列的極限 $$\lim_{n\to\infty}a_n$$ 與函數的極限 $$\lim_{x\to c}f(x)$$。我們與例子來說明。

【例５】「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。

第 $$n$$ 天剩下的量為 $$a_n=\frac{1}{2^n}$$。所謂「萬世不竭」是指

$$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n}>0,~~~\forall{n}\in{\mathbb{N}}$$

但是數列（$$a_n$$）以 $$0$$ 為極限：$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$ 這是直觀明顯的。

【習題５】求下列數列的極限：

1. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$
2. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-3^n}{3^n}$$
3. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$$
4. 假設數列 $$(a_n)$$ 定義為：$$a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=\frac{2a_{n+1}+a_n}{3},n=1,2,3,\mbox{…}$$。
   求極限 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$$

【例６】求函數的極限：$$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-x^2-2x+2}{x^2-3x+2}$$

【解答】$$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-x^2-2x+2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2}{x-2}=1$$

【注意】在上述演算中，我們用到「$$x\longrightarrow{1}$$」的性質：$$x$$ 可跟 $$1$$ 任意靠近，但不等於 $$1$$。讀者應該可以感受到這是「無窮小量」的精神潛藏於裡面吧。

【例７】求函數的極限：$$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-2^2}{x-2}$$。
這就是求函數 $$y=f(x)=x^2$$ 在 $$x=2$$ 點的切線斜率，所引出的極限。

【解答】$$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-2^2}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$$

【例８】求函數的極限：$$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-\sqrt{x^2+1})$$。

【解答】$$\begin{array}{ll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-\sqrt{x^2+1})&\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{(x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1)}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\&\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\\&=0\end{array}$$

【習題６】求下列函數的極限：

1. $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$
2. $$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^3+3x^2-2}{x^2-x-2}$$
3. $$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{5x-1}-\sqrt{4x+1}}$$

乙、無窮小量（infinitesimal）

「無窮小量」是：要多小就有多小，但又不等於 $$0$$。換言之，它可以跟 $$0$$ 任意接近，但是不能碰觸到 $$0$$。在實數系中，這是一個矛盾的！許多人無法接受這個矛盾，而排斥「無窮小量」。

因為一個實數，若具有「要多小就有多小」的性質，那麼它必為 $$0$$。因此，無窮小不是一個實數，它彷彿是活生生的小精靈（demon），它生存在「無何有之鄉」，具有超能力，可以幫忙建造出微積分。

我們可以這樣來觀照「無窮小量」：給一個線段，這是「有」，想像它慢慢縮短（一直都是「有」），最終消失是「無」。在從「有」到要消失為「無」，但還未消失的那一剎那，就是「無窮小量」。

因此，「無窮小量」是介於有與無之間，似有實無，似無又有，不有也不無，是有也是無。超越有無，又包含有無。越說就越有「禪味」了。

萊布尼茲其實是利用「無窮小量」的精靈，且賦予優秀記號 $$dx$$ 與 $$dy$$，以創立微積分：

【例９】設 $$y=F(x)=x^4$$，那麼 $$Dx^4=4x^3$$。

它的微分演算如下：

$$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^4-x^4}{dx}$$

$$\displaystyle=\frac{[x^4+4x^3dx+6x^2(dx)^2+4x(dx)^3+(dx)^4]-x^4}{dx}$$ (以上用到 $$dx\neq{0}$$)

$$=4x^3+6x^2(dx)+6x(dx)^2+(dx)^3=4x^3+[6x^2+6x(dx)+(dx)^2]dx$$

$$=4x^3$$（最後用到 $$dx$$「要多小就有多小」，故含有它的項，棄之可也！）

其次，萊布尼茲的定積分的記號 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 本身也是善用無窮小量，它的意思是說：無窮多個無窮小量 $$f(x)dx$$（有限量 $$f(x)$$ 乘以無窮小量 $$dx$$ 仍是無窮小量），從 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 連續地求和，即積分。

【例10】因為 $$D(x^4/4)=x^3$$，所以根據微積分根本定理就有：

$$\displaystyle{\int}_2^5{x}^3dx=\frac{1}{4}(5^4-2^4)=\frac{609}{4}$$ 與 $$\displaystyle{\int}_a^b{x}^3dx=\frac{1}{4}(b^4-a^4)$$

丙、連續函數

連續函數是微積分最重要的一類函數，是微積分的主角。基本上，積分的對象是連續函數，而微分的對象是更局限的可微分函數，因為可微分必為連續，反之則不然。

直觀地說，所謂一個連續函數是指函數圖形是連綿不斷的，沒有缺口的、沒有斷裂的。例如：

【定義１】（連續函數）

設 $$f$$ 為一個函數，如果下列各個條件皆成立，則稱 $$f$$ 在 $$x_0$$ 點連續（continuous at $$x_0$$）：

1. $$f$$ 在 $$x_0$$ 點有定義；
2. 極限存在 $$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)$$；
3. $$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

否則稱 $$f$$ 在 $$x_0$$ 點不連續（discontinuous at $$x_0$$）。如果 $$f$$ 在定義域中的每一點都連續，則稱 $$f$$ 為一個連續函數。如果定義域有端點，那麼在端點概指左連續或右連續。

【定理５】多項函數、三角有理函數、三角函數、指數函數與對數函數在各自的定義域上皆為連續函數。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963