為何可以用哈伯常數估計宇宙年齡

為何可以用哈伯常數估計宇宙年齡 (Why Hubble’s constant can be used to estimate the age of the universe)
國立臺灣大學物理系教授 陳義裕

根據哈伯定律，遠方星系都在遠離我們而去，且遠離的速度 \(v\) 和距離 \(d\) 成正比，而其間的比例係數 \(H\) 則稱為哈伯常數。寫成數學形式即為：\(v=Hd\)。你可能會在不同的場合聽到人家說，哈伯常數的倒數可以用來做為宇宙年齡的估計，但這是為什麼？

我們先來看一個不相干的問題。我們都很熟悉所謂的簡諧運動，它指的是一個質量為 \(m\) 的物體在受到一條彈簧常數為 \(k\) 的彈簧之回復力時之運動，其運動方程式之數學形式為

\(m\cdot(\)加速度\()=\)\(k\cdot(\)位移\()~~~~~~~~~(1)\)

假設我今天有興趣的只是數量級的大小（例如運動方程式的數學太難或太複雜了，我們不會解），則上式右手邊中的「位移」雖然會隨時間改變，但其數量級的大小應該也就和振動時的最大位移（亦即振幅）\(A\) 是一致的。至於上式左手邊中的「加速度」之數量級的大小則可以利用下式來估計：

其中我們把「時間的約略長短」視為和簡諧運動的振動週期 \(T\) 有相同的數量級，而符號「\(\sim\)」則代表「數量級的約略大小」。

照這樣說，\((1)\) 式就約略變成了

\(m\cdot \frac{A}{T^2}\sim k\cdot A\Rightarrow T\cdot \sqrt{\frac{m}{k}}\)

在中學物理中我們知道，經過仔細計算後所求得的週期和以上結果比較，其實還多了一個 \(2\pi\) 的係數，所以乍看之下，這個結果似乎令人失望。可是進一步想，在上述估算中，我們根本不曾真正去解運動方程式，但竟然還能不費吹灰之力去推算出系統週期的數量級估計，這絕對是很大的成就！不只如此，我們還可以正確宣稱：振動週期是和質量的開根號成正比、和彈簧常數的開根號成反比哩！

如果你能接受以上的論述，那麼下面這個更難的問題也可以輕鬆化解：一個質量為 \(m\) 的物體受到一條非線性的彈簧之回復力在做運動（回復力和振幅的三次方成正比），其運動方程式之數學形式為

\(m\cdot(\)加速度\()=\)\(C\cdot(\)位移\()^3\)

請論述它的振動週期和質量 \(m\)、常數 \(C\) 以及振幅 \(A\) 之間有以下的關係：

\(T\sim \frac{1}{A}\sqrt{\frac{m}{c}}\)

 （所以，振幅很小時系統的週期變得很長！）

有了以上的熱身運動，接下來處理宇宙年齡這個問題就容易多了。其實哈伯常數 \(H\) 雖然在宇宙中每一點的數值都相同，但它並不是傳統力學概念中的常數，因為它可能隨時間而改變。換句話說，今日所觀測到的 \(H\) 的數值雖然大約是 \(21~ km/s/Mly\)，但 \(20\) 億年前的 \(H\) 可能和此數字有所偏差，而 \(50\) 億年前的 \(H\) 可能和此數字偏差更大。即便如此，我們還是相信，只要老天爺沒有和我們開大玩笑，則不同時代的 \(H\) 的數量級馬馬虎虎大概也就是 \(21 km/s/Mly\)。

同理，今日遠方特定的星系若是以 \(v\) 的速度在遠離，那之前呢？更早的時候又如何呢？我們也是說不準，但只要老天爺沒有和我們開大玩笑，則大部份時候它的數量級應該也就是像 \(v\) 那樣。既然如此，則遠方星系從距離我們相鄰很近的地方，隨著宇宙膨脹而遠離至今日很遠之距離 \(d\)，此中所經歷的時間之數量級就約略是

於是我們就有了宇宙年齡的估計值是 \(1/H\)。當然，從以上的估算中你一定可以看出來，宇宙的年齡和宇宙演化模型的細節有很大關係，所以上述結果充其量也不過就是個數量級的估計而已，不用過度解讀，就如同簡諧振動所估出來的週期與真實數值會差上 \(2\pi\) 一樣。