數學史

和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）（Determinants in Wasan (3): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 2）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）

〈和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）〉介紹了關孝和如何從解多元高次方程組中，發展出類似今日行列式的概念。然而，即便是今日，多元高次方程組求解仍是一件困難的工作。所以，關孝和能處理多元高次方程組，更顯得他在數學上的造詣深厚。以下透過幾個簡單的實例，讓讀者更熟悉關孝和的方法，也指出這個方法也有無能為力的時候。

例1：解 $$\left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1\\ {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2} = 5\\ {(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} = 13 \end{array} \right.$$。

【關孝和的方法】：

方程組可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 2y + 1) – 2x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4y + 3) – 4x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 6y + 5) – 6x + {x^2} = 0 \end{array} \right.$$，

利用係數所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 2y + 1}&{ – 2}&1\\ {{y^2} – 4y + 3}&{ – 4}&1\\ {{y^2} – 6y + 5}&{ – 6}&1 \end{array}} \right| = 0$$，

但左式展開後各項均消去，得到 $$0=0$$ 的恆等式，而非 $$y$$ 的方程式，因此無從求 $$y$$ 之值。

和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）
（Determinants in Wasan (2): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 1）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(1)：創立者關孝和

關孝和《解伏題之法》(1683年)的主要內容是解多元高次方程組。他提出了六個步驟：真虛、兩式、定乘、換式、生剋、寄消。其中的第五個步驟「生剋」，就相當於今日將行列式展開的過程，其「生」（以紅色表示）、「剋」（以黑色表示）就是在決定展開後每一項的正、負號。以今日的術語來說，關孝和在書中提出相當於將二至五階行列式展開的方法，並寫下二至四階的行列式展開式。

以二階行列式為例，關孝和呈現的方式如下表一，

然後說乙丙相乘是「生」，丁甲相乘是「剋」，

用今日符號表示的話，就是 

關孝和還用下圖一來表示這規則。

和算中的行列式(1)：創立者關孝和
（Determinants in Wasan (1): Seki Takakazu, the originator）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

日本江戶時代 (1603-1867，即德川幕府時代) 的數學家在吸納了來自中國的數學知識後，獨立發展出許多新理論及新算法，後人就將這時期的數學稱為「和算」，這時期的數學家就稱為「和算家」。在這些和算家中，最突出也最具代表性的一位，就是關孝和。他不但被後世稱為「算聖」，更是世界上最早提出行列式的人之一。

我們對關孝和的生平所知不多，就連他是不是在1642年出生的，現在仍有爭議；不過，1708年離開人世，這殆無疑問。關孝和本姓內山，過繼給一位關姓武士後才改姓。關孝和是甲府宰相德川綱重及其子德川綱豐的家臣，擔任「勘定吟味役」的職位，相當於會計總管的職務。在德川綱豐成為德川將軍的養子後，關孝和也就成為幕府直屬的武士，官至「御納戶組頭」，負責幕府的用具。總而言之，關孝和在官途上並沒有什麼特別之處，就是以家臣的身份，為領主奉獻心力。

相較於平凡的仕途，關孝和在數學上的成果就更顯得非凡燦爛了。

西方行列式的發展：貝祖的研究
(The Development of Determinants in West: Bézout’s Work)
國立臺南第一高級中學林倉億老師

萊布尼茲雖然可被視為西方第一個做出行列式相關研究的人，但他對後來的發展影響並不大（參閱本網站〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉一文）。真正廣為人知的，是克拉瑪對聯立方程組的研究，以其名命名的「克拉瑪公式」更是現行高中教材中的內容。關於克拉瑪在行列式方面的工作，也請參閱本網站的文章：〈克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式〉，筆者在此不再贅述。但也要提醒讀者，在克拉瑪之前，蘇格蘭愛丁堡大學的數學教授麥克勞林已提出相當於二元與三元聯立方程組的「克拉瑪公式」，本網站〈各式聯立方程組的程序性解法(1)：麥克勞林與卡丹諾〉一文對此有簡短的介紹。本文要介紹的，是法國數學家艾帝安‧貝祖 (Étienne Bézout, 1730-1783) 於1764年提出的成果。

克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式（Cramer’s Rule, Part 2: Cramer’s Original Rule）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪在其書中所呈現的公式，與今日的克拉瑪公式在表現方式上並不相同。

連結：克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹

原來的克拉瑪公式

在沒有行列式的輔佐下，克拉瑪只能逐項寫出，但他給出一個很有趣的法則來寫出聯立方程組的解公式。

以下利用 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的一次聯立方程組說明克拉瑪的方法：

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y + {c_{ 1}}z = {d_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y + {c_{ 2}}z = {d_{ 2}}\\ {a_{ 3}}x + {b_{ 3}}y + {c_{ 3}}z = {d_{ 3}} \end{array} \right.\\\Rightarrow \displaystyle x = \frac{{{d_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {d_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {d_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {d_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {d_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {d_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\)

克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹（Cramer’s Rule, Part 1: Cramer’s Life and Writings）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪公式及克拉瑪的生平、著作。

現在的克拉瑪公式

在求一次聯立方程組之解時，最常提及的解公式就是「克拉瑪公式」。以二元一次聯立方程組與三元一次聯立方程組為例：

\((1)\) 給定 \(x\)、\(y\) 的一次聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y = {c_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y = {c_{ 2}} \end{array} \right.\)

令 \(\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} } \right|\)。

則當 \(\Delta \ne 0\) 時，\(\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\)，\(\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\)