微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral）

微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數

甲、微分

採用極限的論述法來定義導數就是：

【定義２】（導數定義的四部曲）

給一個函數 $$y=F(x)$$，我們按下列四個步驟操作：

• $$(\mathrm{i})$$ 分割：讓獨立變數 $$x$$ 變化 $$\Delta{x}$$ (可正也可負)
• $$(\mathrm{ii})$$ 求差：對應的應變數 $$y$$ 就變化 $$\Delta{y}\equiv\Delta{F(x)}\equiv{F(x+\Delta{x}-F(x)}$$
• $$(\mathrm{iii})$$ 求牛頓商：$$\Delta{y}/\Delta{x}$$
• $$(\mathrm{iv})$$ 取極限：$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$

如果這個極限值存在，就稱函數 $$F$$ 在 $$x$$ 點為可微分（differentiable）。記此極限值為 $$DF(x)$$ 或 $$\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$，並且稱為 $$F$$ 在 $$x$$ 點的導數（derivative）。如果函數 $$F$$ 在定義域的每一點都可微分，那麼我們就稱 $$F$$ 為一個可微分函數（a differentiable function）。導數的幾何意義就是「切線的斜率」。

【註】利用極限來計算導數，常見的變形有：

$$\displaystyle DF(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{u\to x}\frac{F(u)-F(x)}{u-x}$$

採用無窮小量的論述法來定義的導數就是：

【定義３】（導數的定義）

$$\displaystyle DF(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}$$

但在做實際計算時，要注意：先是 $$dx\neq{0}$$，然後又 $$dx=0$$ 的規則。

【例11】設 $$F(x)=x^2$$，求 $$DF(x)$$。
【解答】

$$(\mathrm{i})$$ 無窮小量的論述法：

$$\displaystyle DF(x)=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx=2x$$
或 $$dF(x)=F(x+dx)-F(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+(dx)^2=2xdx$$
$$(18)$$

上述的演算規則是：當一個有限量 $$DF(x)$$ 是由一個有限量 $$2x$$ 加上一個無窮小量 $$dx$$ 時，是加之不增的，故 $$2x+dx=2x$$，亦即 $$dx$$ 棄之可也。其次，當一個無窮小量 $$dF(x)$$ 是由一個無窮小量 $$2xdx$$ 加上一個更高階的無窮小量 $$(dx)^2$$ 時，後者棄之可也。

$$(\mathrm{ii})$$ 極限的論述法：

$$\begin{array}{ll}DF(x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x~~~~~~~~~(19)\end{array}$$

許多人無法接受無窮小量的論述法，而喜歡極限的論述法。其實，我們看出這兩種論述法是殊途同歸，而且比較 $$(18)$$ 與 $$(19)$$ 兩式就知每一步都有互相的對照。在禪宗裡，有「北漸南頓」之分，仿此我們就說：極限的論述法是「漸悟派」，透過極限操作以有涯逐無涯；無窮小量的論述法是「頓悟派」，直接飛躍到無涯彼岸，請出無窮小量，幫忙完成微分。

【例12】給一個單位正方形，在四個角上都截去相同的小正方形，將剩餘部份折成一個沒有蓋子的長方體容器。欲使其容積為最大，求截去小正方形的邊長。

【解答】假設截去小正方形的邊長為 $$x$$，則長方體容器的容積為

$$V(x)=x(1-2x)^2=4x^3-4x^2+x$$

微分（參見例4）得到

$$V'(x)=12x^2-8x+1$$

解方程式 $$V'(x)=12x^2-8x+1=0$$，即解 $$(2x-1)(6x-1)=0$$，得到

$$\displaystyle x=\frac{1}{2}$$ 或 $$\displaystyle x=\frac{1}{6}$$

其中 $$x=1/2$$ 不合，因為整個正方形都被截光。因此 $$x=\frac{1}{6}$$ 就是所求的答案。

【習題７】在半徑為 $$1$$ 的球面裡，內接一個正圓錐使其體積為最大。試求此正圓錐的底半徑與高。

乙、定積分

【定義4】（積分定義的四部曲）

給一個函數 $$y=f(x)$$，我們按下列四個步驟操作：

• $$(\mathrm{i})$$ 分割：$$a=x_1<x_2<x_3<\mbox{…}<x_{n+1}=b$$，記 $$\Delta{x_k}\equiv{x_{k+1}}-x_k$$，$$k=1,2,\mbox{…}n$$
• $$(\mathrm{ii})$$ 取樣：在每一小段中任取一點 $$\xi\in[x_k,x_{k+1}]$$，$$k=1,2,\mbox{…},n$$
• $$(\mathrm{iii})$$ 求近似和：$$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$，叫做 Riemann和
• $$(\mathrm{iv})$$ 取極限：$$\displaystyle \lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$，此地的極限是讓每一個 $$\Delta{x_k}\to{0}$$。

如果極限 $$\displaystyle\lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k)$$ 存在，且跟分割與樣本點的取法無關，則稱函數 $$f$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上為可積分（intergrable），記此極限值為 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$。

【註解】

1. 微分的定義是：分割，求差，求牛頓商，取極限。積分的定義是：分割，取樣，求近似和，取極限。兩者同樣都是四個步驟。其實，此地的積分因為有上下限，所以應該叫做定積分（definite integral），以別於以後要介紹的不定積分（indefinite integral）。
2. 定積分有時需要用不同的變數來表達：$${\int}_a^b{f(x)}dx={\int}_a^b{f(t)dt}={\int}_a^b{f(u)}du$$。因此積分的變數叫做啞變數（Dummy variable）。
3. 面積的幾何解釋：若 $$f(x)\geq{0},\forall{x}\in[a,b]$$，則 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 表示由函數 $$y=f(x)$$ 的圖形、$$x$$ 軸、直線 $$x=a$$，$$x=b$$ 所圍成領域的面積。一般情形，當 $$f(x)$$ 的值有正負時，$${\int}_a^b|f(x)|dx$$ 才是面積。

【定理６】若函數 $$y=f(x)$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上連續，則定積分 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 存在。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963