微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理（First Course in Calculus－A Historical Approach 12. The Fundamental Theorem of Calculus）

微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理（First Course in Calculus－A Historical Approach 12. The Fundamental Theorem of Calculus）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義

微積分最重要且最核心的「微積分學根本定理」。求切線與求面積兩者表面上很不同，實則關係密切。

【定理7】（微積分學根本定理, the Fundamental Theorem of Calculus, FTC）

假設函數 $$f$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上連續，那麼就有：

• $$(\mathrm{i})$$ 微分與積分的互逆性：令 $$G(x)={\int}_a^x{f(t)}dt$$，則 $$DG(x)=f(x),~~\forall{x}\in[a,b]$$
• $$(\mathrm{ii})$$ N-L公式：若 $$DF(x)=f(x),\forall{x}\in[a,b]$$，則 $${\int}_a^b{f(x)}dx=F(b)-F(a)$$

如果我們接受底下兩個重要極限公式，就可以求得正弦函數與餘弦函數的微分公式。從而得到更多的定積分公式。

【補題３】$$(\mathrm{i})\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1~~~~~~(\mathrm{ii})\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$$

【微分公式】$$D\sin{x}=\cos{x}$$

【證明】

$$\begin{array}{ll}D\sin x&=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\&=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}\\&=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\left[\sin x\left(\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}\right)+\cos x\left(\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)\right]\\&=\displaystyle \sin x\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}+\cos x\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\&=(\sin x)\cdot 0+(\cos x)\cdot 1=\cos x\end{array}$$

【微分公式】$$D\cos{x}=-\sin{x}$$.
【證明】當作讀者的練習題。

【例13】由上述兩個微分公式與微積分學根本定理，我們就得到：

$${\int}_a^b\cos{x}~dx=\sin{b}-\sin{a}$$ 與 $${\int}_a^b\sin{x}~dx=\cos{a}-\cos{b}$$

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（13）一法二念二義一理

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963