比爾定律與吸收度

比爾定律 (Beer’s Law)與吸收度 (Absorbance)
國立臺灣大學化學系學士生張育唐/國立臺灣大學化學系陳藹然博士責任編輯

比爾定律，又稱作比爾──朗伯定律(Beer-Lambert Law)，是一個光學基礎定律。當光穿透樣品溶液時，光的吸收度 \((A)\) 與吸收係數 \((\alpha)\)、光徑長 \((l)\)、濃度 \((c)\) 三者均呈正比：\(A=\alpha lc\)

其中 \(\alpha\) 為吸收係數(absorptivity，或稱 absorption coefficient)，亦可稱為消光係數(extinction coefficient, \(k\))。然而，若是在光徑長 \(b\) 使用了 cm 作為單位，並且濃度 \(c\) 使用 \(M\) 作為單位，吸收係數以 \(M^{-1}cm^{-1}\) 作為單位，那麼這時候的吸收係數，即可稱為莫耳吸收係數(molar absorptivity)，其符號以 \(\varepsilon\) 來代表。莫耳吸收係數 \(\varepsilon\) 的使用相當頻繁，以至於還比吸收係數 \(\alpha\) 來的常出現。因此，常見的比爾定律表示方法為：\(A=\varepsilon bc\)

此外，我們需要瞭解的另一個重要定義是光的吸收度(absorbance)。當一束光線照射到一樣品溶液時，部份的光線會被樣品溶液吸收，剩下的光線則穿透樣品溶液，即原本光入射線強度 \(I_0\)，穿透光線強度變為 \(I_1\)，此時光的穿透度 \(T\) (Transmittance)，即光穿透的比例為

圖一、比爾定律吸收光路徑的示意圖。(圖片來源： WIKIPEDIA–Beer–Lambert law)

反言之，部份光被樣品吸收，定義光的被吸收度 A 為

\(\displaystyle A=-\log T=-\log \frac{I_1}{I_0}\)

吸收度A為一個大於等於零的實數；一般而言落在0至2之間，其中0所代表的意義即為完全無吸收，2則代表有百分之九十九的光通過時被吸收了。

之所以要定義吸收度，是因為光的穿透度，並不與濃度和光徑長呈完全負相關。例如光穿過兩杯一樣的溶液，在第一杯被吸收了50%，並不會穿過第二杯後就會全 部被吸收。而只有吸收度，是與光徑長、濃度呈正比的。例如光穿過兩杯一樣的溶液，在第一杯被吸收了50%，那麼就相當於對於第二杯的入射光只有50%，那 麼自然第二杯就該只吸收25%，其吸收的總光量只有增加一半，然而其總吸收度確實增加了一倍。一個有趣的實驗可以應證此一事實：取一個馬克杯加入半透明的 果汁，並逐漸加水稀釋。從正上方的角度可以看到，果汁的顏色即便是加水稀釋，也不會有所改變。這是由於在稀釋溶液濃度的同時，其光徑也在同時增加，兩者的 一增一減必然是互相抵銷的。

除了上述的各種吸收度的稱呼之外，另外一個稱做「吸收率」(absorptance)的係數也經常出現。吸收率以小寫印刷體的 \(\mathrm{a}\) 代表，表示溶液對於光而言，只會有吸收這一種光學性質，其他諸如散射、反射等可能出現的影響均不考慮。其定義為：

\(\displaystyle \mathrm{a}=\frac{I_0-I}{I_0}\)

值得注意的是，吸收率和吸收度是不同的，不能用於取代比爾定律中的吸收度。

參考資料：
1. Zumdahl, S. S. Chemical Principles, 5th edition; Houghton Mifflin Company: Boston, 2003; pp. A18-A20.
2. Skoog, D. A.; Holler, F. J.; Crouch, S. R. Principles of Instrumental Analysis, 6th ed.; Brooks/Cole: Belmont, 2007; pp. 336-342.
3. Harris, D. C. Quantitative Chemical Analysis, 7th edition; W. H. Freeman and Company: New York, 2007; pp. 381-382.
4. WIKIPEDIA–Beer–Lambert law  http://en.wikipedia.org/wiki/Beer%27s_Law
5. Millikan, G. A. J. Physiol. 1933, 79(2), 152–157.