比爾定律(Beer’s Law)的限制

比爾定律(Beer’s Law)的限制
國立臺灣大學化學系學士生張育唐/國立臺灣大學化學系陳藹然博士責任編輯

比爾定律，又稱作比爾──朗伯定律(Beer-Lambert Law)，是一個光學基礎定律。當光穿透樣品溶液時，光的吸收度(A)與吸收係數( )、光徑長(l)、濃度(c) 三者均呈正比：A=lc

然而，比爾定律並不適用各種狀況，只適用在某些前提與限制下：
1. 溶液必須是一個均質的溶液，不能存在不均勻的現象。
2. 溶液當中的分子彼此之間不互相作用，例如稀薄溶液。
3. 溶質分子不會因入射光的照射而進行反應。
4. 溶液必須是澄清的，也就是說不能產生散射現象。
5. 僅考慮光的吸收，忽略光的散射、反射等行為。
6. 光源使用單色的平行光。也就是每一束光是相同的波長，且通過相同長度的介質溶液，因為莫耳吸收係數會隨著波長而有所不同。

當測量條件不符合上述前提，以比爾定律計算出的結果就會出現大幅誤差。例如由於濃度的增加，而造成溶液當中組成成分的改變，使得吸光係數並非恆定。例如在水中鉻酸根離子與二鉻酸根離子遵守下列的平衡反應：

鉻酸根是黃色的，而二鉻酸根是橙色的。當改變二鉻酸根濃度時，即隨著所添加二鉻酸根的量，二鉻酸根的實際濃度並不會隨添加量等比例上升，部份的鉻酸鉀會因 平衡轉變為二鉻酸鉀，故單純考慮添加二鉻酸根量所得之溶液濃度和吸收度無線性關係。這時可以透過等吸光點(isosbestic point)的特性配合比爾定律來求得正確的值。等吸光點的特點是，在這個波長下，平衡中兩物種的莫耳吸收係數相同，若平衡中兩物種的總濃度維持恆定，則 得到下列的關係：

ε=ε₁=ε₂
c=c₁+c₂
A=ε₁ bc₁+ε₂ bc₂=εbc

在這個情況下，即便物種的濃度比例不斷改變，但總體而言依然能夠符合比爾定律。而兩物種平衡之等吸光點的決定，我們可以透過改變溶液的濃度或pH值，來進行全波長光譜的測定；則可以得到必然有一個點，其莫耳吸收係數是不隨濃度或pH值改變的。

濃度增加也會造成溶液折射率的改變。一般而言當溶液濃度超過0.01 M時，溶質分子彼此之間的電子雲會逐漸靠近，產生排斥、極化(polarization)的作用，引起光通過溶液的速度改變，造成溶液折射率變化。因為莫耳吸收係數是折射率的函數，所以折射率的改變也會導致莫耳吸收係數的改變。故高濃度溶度中吸收度和和濃度的關係需要透過下列的公式來修正：

其中n為溶液在該濃度下的的折射率。在多成份溶液中，雖然吸光溶質的濃度很低，然而當其他非吸光溶質其濃度高時，它們的電子雲同樣會發生交 互作用，影響溶液的折射率，同樣需要修正比爾定律。除此之外，針對一些較大的有機分子，它們受溶液環境影響的程度較大，即使濃度不到 0.01 M，也需用修正後的比爾定律。

然而也有一些誤差與溶液濃度無關，例如由於光度法本身的限制，儀器設計與實驗方法選擇也會導致比爾定律的不適用。一般的儀器為了可以調整光源的波長，因此 大多使用可發出連續光譜的光源。而此時必須使用一些光學儀器，如稜鏡、光柵(grating)、單光鏡(monochromator)，或是濾鏡 (filter)等濾除其他波長的光，僅留下單一波長的光。但是在技術上，必然只能做到讓一段小範圍波長的光通過 。然而不同的波長之間，其莫耳吸收係數通常是不同的，這樣對於吸收度便有著一定程度的誤差。因此在決定吸收波長的時候，通常採用最大吸收波長 (maximum absorption wavelength，λ_max)作為光源使用的波長。若是當波長的範圍 太寬時（使用較寬狹縫），即便是取了最大吸收波長，依然有可能會造成誤差；這是因為在最大吸收波長兩側的莫耳吸收係數比較低，因此若是將這一段波長的吸收 全部平均，是會得到吸收度A的負偏差。除此之外，寬狹縫除了讓吸收度下降之外，還會讓吸收光譜的解析度下降。

另一個由儀器引起比爾定律的誤差為歧光(stray light)。歧光是光學儀器當中，經過散射或反射，才打到樣品槽的光，或是外界逸入儀器當中進入偵測器的光。 這些光並不是按照原先光學儀器的規劃進入偵測器的，只要逸入相當於光源1%的光進入偵測器，那麼就相當於A = 2時偵測器所接收到的光，即便是A = 1的待測溶液，也會有著4%左右的偏差；在較高濃度的情況下，此一偏差是相當大的。因此在設計光學儀器時，除了使光學路徑能夠暢通外，同時也要確保儀器內部完全不會有外部的光進入。

參考資料：
1. Skoog, D. A.; Holler, F. J.; Crouch, S. R. Principles of Instrumental Analysis, 6th ed.; Brooks/Cole: Belmont, 2007; pp. 336-342.
2. Harris, D. C. Quantitative Chemical Analysis, 7th edition; W. H. Freeman and Company: New York, 2007; pp. 381-382.
3. WIKIPEDIA–Beer–Lambert law  http://en.wikipedia.org/wiki/Beer%27s_Law
4. Millikan, G. A. J. Physiol. 1933, 79(2), 152–157.