如何過圖形上一點求切線方程式(1)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）

如何過圖形上一點求切線方程式(1)
（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

給定一條曲線圖形(通常可視為函數圖形的一部份)，如何求出過圖形上一點的切線方程式？切線問題有著實際應用的對應。例如，運動物體在任意瞬間的運動方向，就是運動軌跡在那一點的切線方向。或是光學透鏡設計需要求出曲面的法線，而法線與切線垂直；若能求出切線，也就決定法線。

這些都是十七世紀當時科學研究和應用的一部份，這些需求促動微積分技術的發展，經過眾人的改進與演化，補強技術的理論，最終發展出微積分這一門優美又有威力的學問。靜心想想，討論「求切線方程式」問題一直是高中數學的主題之一，其解決方法的流變，頗有顯現此種數學知識積累的過程。因此，本文特意將高中數學中相關題材蒐集討論，以饗讀者。

對於初學者而言，「圖形 \(\Gamma\) 上一點 \(A\) 的切線 \(L\)」表示有一條直線 \(L\) 與圖形 \(\Gamma\) 相切於一點 \(A\)。例如，圖一所示，直線 \(L\) 與圓相切於圓上的點 \(A(3,2)\)。因此，直線 \(L\) 為圓上過 \(A(3,2)\) 點的切線。

然而，「相切」是什麼意思呢？其實沒有明確的定義，通常訴諸圖形直觀，彼此心領神會，或是由求切線的過程歸納出「圖形相切」＝「圖形相交於一點」的印象。若圖形有好的幾何性質，會讓求切線的工作變得比較簡單。比方說，圓的切線 \(L\) 會與過圓心和切點的直線 \(AC\) 相互垂直，由圖一可知直線 \(AC\) 的斜率為 \(\frac{2-(-1)}{3-2}=3\)，則切線 \(L\) 的斜率為 \(-\frac{1}{3}\)，因此切線 \(L\) 的方程式為 \(y=-\frac{1}{3}(x – 3) +2 \Rightarrow y =-\frac{1}{3}x + 1\)。

圖一

不過，若是圖形沒有幾何性質可供利用，如拋物線、橢圓及雙曲線等圓錐曲線，我們是藉由「圖形交點的個數」等於「聯立方程式解的個數」之性質，透過代數方式求出切線方程式。例如

求過拋物線 \(y=x^2\) 上一點 \((1,1)\)的切線方程式。

設直線 \(L\) 的方程式為 \(y=m(x-1)+1\)

考慮聯立方程式 \(\left\{ \begin{array}{l} y = {x^2}\\ y = m(x – 1) + 1 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x^2} = mx – m + 1 \Rightarrow {x^2} – mx + (m – 1) = 0\)

由於相切，直線 \(L\) 與 \(y=x^2\) 交於一點，

表示二次方程式 \({x^2} – mx + (m – 1) = 0\) 有兩相等實根，

所以判別式 \(D = {( – m)^2} – 4 \times 1 \times (m – 1) = 0 \Rightarrow {m^2} – 4m + 4 = 0 \Rightarrow {(m – 2)^2} = 0 \Rightarrow m = 2\)

故切線方程式 \(L\) 為 \(y = 2(x – 1) + 1 \Rightarrow y = 2x – 1\)。

若是圖形方程式較為複雜，整個代數運算過程會讓人苦不堪言。有興趣的讀者不妨試試下面這個問題

求過點 \((1,-3)\) 且與橢圓 \(2{x^2} + {y^2} – 3x – 2y – 7 = 0\) 相切的直線方程式。
(答：\(x-6y-13=0\))

此時，老師通常會課外補充所謂的「切線公式」來迴避計算的困難

過圓錐曲線 \(a{x^2} + c{y^2} + dx + ey + f = 0\) 上點 \(P(x_0,y_0)\) 的切線 \(L\) 方程式為

\(a{x_0}x + c{y_0}y + d(\frac{{{x_0} + x}}{2}) + e(\frac{{{y_0} + y}}{2}) + f = 0\)

附帶一提：高中只討論對稱軸鉛直或水平的圓錐曲線，故此處圓錐曲線的一般式沒有 \(bxy\) 這一項。

如此一來，反而形成因應各式不同情形的各種公式紛紛出現的「軍備競賽」，造成不良的影響。因此，99課綱制訂時乾脆將「圓錐曲線與直線的關係」這個主題直接刪除，卻造成99課綱中圓錐曲線這個單元不上不下的窘境。另外，訴諸直觀之「圖形相切」等於「圖形相交於一點」的看法也受到挑戰，如圖二所示，

圖二

直線 \(x=2\) 與圖形 \(y=x^2\) 交於點 \((2,4)\)，但 \(x=2\) 顯然不是切線。這些問題都需要微積分的幫助才能得以解決，在下一篇文章〈如何過圖形上一點求切線方程式(2)〉中，會有詳盡的說明，敬請參考。

連結：如何過圖形上一點求切線方程式(2)