微積分初階-歷史發展的眼光(3)微積分是「以有涯逐無涯」的學問(First Course in Calculus-A Historical Approach 3.From finite processes to infinite processes)
微積分初階-歷史發展的眼光(3)微積分是「以有涯逐無涯」的學問(First Course in Calculus-A Historical Approach 3.From finite processes to infinite processes)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
連結:微積分初階-歷史發展的眼光(2)促動微積分誕生的四類問題
大家對於切線與面積當然都有直觀的認識,但這還不夠,必須進一步加以精鍊。更明確地說,我們必須在概念上先澄清下面兩個問題:
什麼叫做切線?什麼叫做面積?
要回答這兩個問題,都要使用到無窮步驟(infinite processes),這是微積分特有的標誌。
首先我們討論,在函數 $$y=F(x)$$ 圖形上一點的切線。切線是直線,由於相異兩點才決定一直線,現在只通過一點就欲求切線,這是整個困難的所在。然而我們注意到,在通過 $$P$$ 點的其他直線中都跟曲線至少有另一交點 $$Q$$,這種直線叫做割線。它提供給我們掌握切線的契機:考慮割線 $$PQ_1$$,$$PQ_2$$,...,然後讓 $$Q_n$$ 沿著曲線逐漸趨近於 $$P$$,乃至「無窮地接近」於 $$P$$,但不能碰觸 $$P$$,那麼割線的「極限」(limit)就是通過 $$P$$ 點的切線,參見圖3。
整個關鍵要點在掌握住斜率。
考慮 $$x$$ 的變化量 $$\Delta{x}$$,於是割線的斜率為 $$\displaystyle\frac{\Delta{F(x)}}{\Delta{x}}=\frac{F(x+\Delta{x}-F(x))}{\Delta{x}}$$,
現在讓 $$\Delta{x}$$ 越來越小,乃至趨近於 $$0$$,亦即取極限:$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$
這個極限值就是切線斜率,記為 $$DF(x)$$ 或 $$\displaystyle\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$。我們用圖4來表示:
其次,我們討論函數 $$y=f(x)$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上所圍成的平面領域之面積。整個想法是:首先將閉區間 $$[a,b]$$ 作分割,對應於一個分割就作出許多小長條矩形,將它們的面積都加起來,得到如圖5的左圖陰影領域之近似面積,然後讓分割一直加細下去,那麼近似面積的「極限」就是所欲求的面積,參見圖5之右圖。
求切線(微分)是「易算難明」,求面積(定積分)是「易明難算」。表面上看起來,兩者似乎不相干,實則為互逆的密切關係!
如何求算切線與面積呢?經過約兩千年的追尋,從古希臘開始,一直到了$$17$$世紀的後半葉,牛頓(Newton,$$1642-1727$$)與萊布尼茲(Leibniz,$$1646-1716$$)兩人才獨立地看出:
透過容易的「反求切線」(反微分法),
恰好可以解決困難的「求面積問題」(即定積分)
從而,微分法揭開了一切運動與變化現象、求極值、求切線以及求面積等諸問題,於是微積分就誕生了。微分法的是「兩面刃」,正向的「微分」可以解決求切線問題,而逆向的「反微分」可以解決千古的「定積分」難題,簡直是削金斬泥。
莊子說:
吾生也有涯,如地無涯,以有涯逐無涯,殆矣。
這是古人面對無窮時的絕望與無助。然而微積分的求切與求積恰好是透過「極限」(或無窮小量)從「有涯」飛躍到「無涯」,定義出微分與積分,從而創立微積分。
因此我們可以說:
微積分是以有涯逐無涯,成矣。
牛頓與萊布尼茲兩人獨立發明微積分,雖然他們的切入方法不同,但是卻殊途同歸,英雄所見略同。牛頓由運動現象的里程函數與速度函數的關係切入;而萊布尼茲由差和分切人,再作連續化。兩人同樣都看出微積分的兩個主要結果:
- 微分與積分的互逆性;
- 微積分學根本定理。
連結:微積分初階-歷史發展的眼光(4)阿基米德求拋物線弓形領域的面積
參考文獻:
- 蔡聰明:微積分的歷史步道。三民書局,台北,2009。
- 蔡聰明:數學的發現趣談,第二版,第19章。三民書局,台北,2010。
- Edward:微積分發展史,凡異出版社,林聰源譯。
- Simons:Calculus Gems,Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill,Inc.1992.
- Dunham:The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
- Toeplitz:The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963
好文我推, 同時和您報告一處筆誤
..而萊布尼茲由差和分切”人”,再作連..