微積分初階－歷史發展的眼光（6）費瑪的擬似相等法求極值（First Course in Calculus－A Historical Approach 6. Fermat’s pseudo-equality method）

微積分初階－歷史發展的眼光（6）費瑪的擬似相等法求極值（First Course in Calculus－A Historical Approach 6. Fermat’s pseudo-equality method）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（5）費瑪的動態窮盡法求面積

費瑪的求極值方法，首次引出「無窮小量」的概念，讓他悄稍地來到微積分的大門口，但缺臨門一腳的功夫。真正開啟這扇大門的是牛頓與萊布尼茲。

【問題２】將長度為 $$a$$ 的線段切成兩段，要使它們的乘積為最大，問應該如何切割？最大值為多少？

假設線段切成的兩段為 $$x$$ 與 $$a-x$$，於是我們考慮函數

$$f(x)=(a-x)x=ax-x^2,~~~0\leq{x}\leq{a}$$.

並且作出函數的圖形如下，參見圖11：

我們欲求函數 $$f(x)$$ 的最大值。

利用配方法可求得：最大值發生在 $$x=\frac{a}{2}$$ 這一點，此時最大值為 $$\frac{a^2}{4}$$。

【費瑪的解法】費瑪採用另外一種「瘋狂」的作法：假定 $$x$$ 為產生最大值的點，現在讓 $$x$$ 變動「無窮小的量」$$\varepsilon$$，得到附近的點 $$x+\varepsilon$$。費瑪觀察到，在最高點的地方，$$x$$ 作微小變動時，函數值幾乎是不變的，所以就有

$$f(x+\varepsilon)\thicksim{f(x)}$$

$$a(x+\varepsilon)-(x+\varepsilon)^2\thicksim{ax}-x^2$$

$$ax+a\varepsilon-x^2-2x\varepsilon-{\varepsilon }^2\thicksim{ax}-x^2$$

經過消去整理後

$$a\varepsilon-2x\varepsilon-{\varepsilon}^2\sim{0}$$

因為 $$\varepsilon\neq{0}$$ 故可除以 $$\varepsilon$$

$$a-2x-\varepsilon\sim{0}$$

又因為 $$\varepsilon$$ 為「無窮小量」（要多小就有多小），故棄之可也，並且近似號改成等號得到

$$a-2x=0$$

解得

$$\displaystyle x=\frac{a}{2}$$

仍然得到古老配方法的相同的正確答案。

上述費瑪的做法大約在1638年提出來，今日叫做「擬似相等法」（Fermat’s pseudo-equality method），這是多麼瘋狂的想法！當時的人難以接受，因為在演算過程中，起先用到 $$\varepsilon\neq{0}$$，最後又用到 $${\varepsilon}=0$$。

事實上，$$\varepsilon$$ 就是「無窮小量」的概念，它具有雙重人格的特性。對於凡人來說，這是矛盾的！不過，我們若採取這樣的哲學觀點：可以得到正確答案的方法，不論想法是多麼瘋狂，其中必含有某種真實的東西，那麼內心就會舒坦一些。

在費瑪的論述裡，其實已經含有微分學的概念，我們在下一節討論。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（７）牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963