假想力(fictitious force, also pseudo force, inertial force(慣性力))

假想力(fictitious force, also pseudo force, inertial force(慣性力))
國立臺灣大學物理所黃一玄

以非慣性座標系描述運動時，物體並不遵守牛頓運動定律。為了使牛頓運動定律看起來仍能成立，我們只好多引入假想力的概念，此假想力完全不是因為物體間有實質的交互作用而產生。在旋轉座標系中，假想力包含離心力跟科氏力。

例一：
假想坐在轎車中的乘客，於汽車突然啟動時，乘客感覺到身體似乎被向後拋、背部跟著緊貼住座椅；而當行車驟然停止時，乘客感受到一個往前的衝力；急轉彎時，身體則會側向往轉彎外側拋甩。

例二：
如圖一，想像你是愛莉絲，吃了縮小蘑菇之後掉入瘋子哈特(Mad Hatter)攪拌中的茶杯，你跟水流方向同步，被水流帶著走，你會看到身旁的水是靜止的，而整個杯子則是反向旋轉。在接近底部的地方，水有跟著杯底一起運動的特性，所以對愛莉絲來說，這些水有一個圓周運動的速度。伴隨著這個速度的科氏力會指向杯子中央，於是茶葉順著水流被推向杯底中央聚集起來。此外，愛莉絲還會發現水面不是平的，而是呈外高內低的拋物面狀，這是因為對她來說周遭的水會感受到離心力，而將水往外拋去，結果外緣就會累積較高的水位。

圖一 愛莉絲被水流帶著走，她會看到身旁的水是靜止的，但整個杯子則是反向旋轉。 (陳義裕繪)

例三：
考慮兩個人 $$A$$ 跟 $$B$$， 各自處於某個座標系中，其中 $$A$$ 的座標系用 $$(x,y,z)$$ 表示，$$B$$ 用 $$(x’,y’,z’)$$ 表示，假設兩座標系可用下式連結：

$$x=x’+s(t),~~~y=y’,~~~z=z’$$

若對於而言物理定律展現出來的形式是我們所熟悉的 $$F=ma$$，則對 $$B$$ 而言，我們有：

速度公式：$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x’}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},~~~\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y’}{\mathrm{d}t},~~~\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}z’}{\mathrm{d}t}$$

$$\Rightarrow$$加速度公式：$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2x’}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2},~~~\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2y’}{\mathrm{d}t^2},~~~\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^2z’}{\mathrm{d}t^2}$$

如果 $$s(t)$$ 是常數，那 $$\mathrm{d}s/\mathrm{d}t=0$$，$$\mathrm{d}^2s/\mathrm{d}t^2=0$$ 受力為零，所以兩座標系都遵守相同的力學定律：$$F=ma=ma’$$。如果 $$s=ut$$，其中 $$u$$ 是常數，則表示 $$B$$ 座標系相對於座標系而言是以定速移動，從 $$\mathrm{d}s/\mathrm{d}t=0$$，$$\mathrm{d}^2s/\mathrm{d}t^2=0$$，可知受力仍為零，故仍遵守相同物理定律。

但如果 $$s=\displaystyle\frac{1}{2}a_0t^2$$，其中 $$a_0$$ 是常數，則 $$\displaystyle\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=a_0t,~\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=a_0$$，

此乃均勻加速度，則 $$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=a_0\ne 0$$ ，

這時對 $$A$$ 而言：作用力的 $$x$$ 分量 $$F_x=\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$$

但對 $$B$$ 而言：作用力的 $$x’$$ 分量 $$F_{x’}=\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2x’}{\mathrm{d}t^2}-ma_0$$

亦即，原本牛頓定律中會額外冒出一項 $$-ma_0$$。這對而言，就像是一個找不到作用源的力，所以就被稱為假想力。注意到假想力的大小總是跟受力物體的質量成正比。

 例四：
在高速旋轉的離心機中，若採用和離心機一起旋轉的座標系來分析問題，則圖二試管的水位受到離心力影響，與重力的合力使得試管水面與地面重力方向維持一定角度，在極高速狀況下可接近垂直面。而液體中的粒子則受到離心力往管壁一端推，最後沉積在管壁。

圖二 (引自: http://cnx.org/)

例五：
電影中的場景：如圖三，主角在酒吧中跟酒保點了杯酒，酒保倒好酒之後，從吧檯上用力一推，酒杯滑向主角，此時酒杯裡的酒在受到推力的短暫時間內，受到一股往後的假想力，液面垂直於此力與重力的合力，因此往斜後方傾斜。之後酒杯持續受到桌面摩擦力而減緩衝速，此時假想力與重力的合力使得液面微微往前傾斜，最後主角伸手一攔，使酒杯倏然止住，此時酒杯的酒會劇烈往前推擠倾側。

圖三 (作者提供)

由於假想力跟質量成正比，重力也是，因此愛因斯坦猜測也許重力本身就可以看成是一種假想力：一個在箱子(或電梯)的人，當箱子在地面上處在靜止狀態時，裡面的人感受到重力，這個往下的力跟他質量成正比。而一個在太空中不受其他重力影響的箱子，於受到一個力影響而產生加速度後，在其中的人也會感覺受到一股力將他拉向一邊，此力也與質量成正比，所以他將無法分辨自己到底是受到重力還是處在加速系統中。而當箱子與在箱中的人，在重力場中自由落下的時候，此人感到處於無重力狀態，他也將無法分辨他是在重力場中自由落下還是漂浮在外太空。

從這想法延伸，愛因斯坦最後將重力當成假想力，並且將牛頓力學中重力場所產生的潮汐力歸因於時空彎曲，於是奠定了廣義相對論(general theory of relativity)的基礎。

參考資料：

1. R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Feynman’s Lecture on Physics, Basic Books (2011)
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Fictitious_force
3. Scientific American: What is a “fictitious force”? July 9, 2007

 延伸閱讀：杯中茶葉何去何從？