巴斯卡三角形Ⅰ(Pascal TriangleⅠ)

巴斯卡三角形Ⅰ(Pascal Triangle  Ⅰ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

高中數學談二項式定理 $$(a+b)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^n_ka^kb^{n-k}=C^n_0a^nb^0+C^n_1a^{n-1}b^1+\cdots+C^n_na^0b^n$$ 時，引進巴斯卡三角形(Pascal’s Triangle)，這個三角形最常應用於算術中，所以，又稱為「算術三角形」，其形狀如樹直立，或稱為「樹形三角形」，在中國古代文本稱為「賈憲三角」或「楊輝三角」，¹許多數學史家早已注意到中西兩造在發現時的時間點先後，賈憲三角約比巴斯卡三角形早五百年以上，所以，筆者另闢蹊徑，將關注點放在各國數學文本所呈現的這些算術三角形的差異及後續中西數學史的發展脈絡。

根據現存中國數學史文本，這種「算術三角形」最先出現在《永樂大典》卷一六三四四中的楊輝《詳解九章算法》，圖一所示，所以，容易讓人誤以為是「楊輝三角」，在楊輝的《詳解九章算法》中，而楊輝是利用賈憲的「立成釋鎖平方法」來解釋開方問題，因此，稱為「賈憲三角」是比較正確的說法。

圖一、《永樂大典》中賈憲三角。

「釋鎖」是宋元時代開方的代名詞，在「賈憲三角」中下方出現的：

左袤乃積數，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命實而除之。

即明確表示其為解高次方程式的結構。元代朱世傑在其所撰的《四元玉鑑》（1303 年）也有附圖，圖二所示。

圖二、《四元玉鑑》中賈憲三角。

此外，這種「算術三角形」也影響垛積術的發展脈絡，北宋沈括（1031-1095)在《夢溪筆談》（1095 年)卷18〈技藝〉中論述：「隙積者，謂積之有隙者，如累棊、層壇及酒家積罌之類。」圖三所示。

圖三、《夢溪筆談》中隙積術。

之後，楊輝利用沈括的隙積術求法，在《詳解九章算法》中稱之為垛積術，列舉幾種菓子垛級數算法，之後有朱世傑在其所著的《四元玉鑑》（1303 年）卷下〈果垛疊藏〉有三角臺垛、四角臺垛、芻童垛等垛，都是由隙積術所引導出的。隙積術影響程度深遠，如在《丁巨算法》（1355 年）、《算法全能集》、《透帘細草》、汪萊的《衡齋算學》（1799 年）、董祐誠的《推垛求積術》（1821 年）均有各種垛積公式，清末李善蘭（1811-1882)著有《垛積比類》（1859 年），書中有討論到高階等差問題，圖四、五所示。

圖四(左)、李善蘭的《垛積比類》。 圖五(右)、李善蘭的《垛積比類》。

圖六、《塵劫記》。

圖七、《算法童子問》。

西洋數學史在巴斯卡之前曾出現在法國人J. deNemore 的手抄本《算術》（約1220 年），書中有一張「算術三角形」的圖表，共有11 列，圖八所示；之後德國人P. Apianus（1495-1552)著作《實用算術》（1527 年）的封面也有二項展開式的係數值。

圖八、《算術》。

中世紀的三次方程式公式解的兩位主角：義大利人塔爾塔利亞(Niccolò Fontana Tartaglia, 1500–1557)與卡當諾(Girolamo Cardano, 1501–1576)也都有提出類似的圖表，其重點除了解三次方程式外，其另一功能很可能是用來計算機率值，例如在1550 年，卡當諾出版著作《機率遊戲勝算》(Book on Games of Chance)，它是有關機率遊戲問題的書，也是一本賭經，它甚至透露了如何在賭博中作假和如何識破郎中動手腳的秘訣，書中正確指出投擲兩粒骰子時可能的情形，也提及投擲三粒骰子時可能的情形，這些骰子的出現情形就必須應用「算術三角形」的結果；

此外，史提非(M. Stifel,  約1487–1567 年)在《整數算術》（1544年）有16 列的圖表，圖九、十所示，這兩個圖是首見「算術三角形」的圖形中非對稱的模式，因此，在數學史上的價值與意義格外重要。

圖九、《整數算術》中算術三角形。 圖十、《整數算術》中算術三角形。

巴斯卡(Blaise Pascal, 1623-1662)在1654 年發表數學論文〈論算術三角形〉其中的「算術三角形」就是赫赫有名的巴斯卡三角形，圖十一所示，文中有許多張算術數表，值得關注的是，巴斯卡利用數學歸納法(Mathematical  Induction)來證明其一般項的成立，這使得此論文較其他數學史的文本更顯珍貴，也賦予算術三角形更多數學意涵，值得注意還有一點，就是在發表論文的同年夏天，巴斯卡與費瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665)，藉由書信往返，終於解開了賭金分配問題，因此，奠定了機率論的基礎。

所以，西洋數學史中巴斯卡三角形除了應用在解高次方程式的功能外，另一發展便是建立機率論，同時間也連貫組合學理論，另一證據來自於瑞士數學家雅克．伯努利(Jacob  Bernoulli,  1654-1705)的著作，他於1713 年撰有《猜度術》(Ars Conjectandi)一書，書中也呈現不同形式的算術三角形，圖十二所示。此書是一本機率問題的經典之作，諸如：兩位實力不相當的選手比賽的相關機率問題，與未賽完如何進行賭金分配等問題，都出現在《猜度術》一書。

圖十一(左)、巴斯卡三角形。 圖十二(右)、《猜度術》中算術三角形。

總之，本文著重在比較中西數學史的發展脈絡，可以明顯看出，兩個一樣的算術三角形，在中國數學史或日本數學史(和算史)的東方民族範疇中，著重在解高次方程式，發展出垛積術等組合學理論；在西洋數學史的領域裡，解決三次方程式相關議題，延伸出機率論與二項式定理乃至於多項式定理及現今熱門的顯學－生物數學Biomath)與程式語言，這種差異性背後的知識背景與社會條件，也是另一個可以深入探討的方向。

此外，文章中各種形式的算術三角形，也呈現各民族間的數學文化特色，是理解數學文化的好題材，所以，到底是稱「巴斯卡三角形」較合適？抑或稱「賈憲三角形」或「楊輝三角形」較合適？我想是不可能有標準答案的！

【註】1: 賈憲生平不詳，但為宋仁宗（1023-1063）時官吏；楊輝（約1238 年－約1298 年），字謙光，錢塘（今浙江杭州）人，是南宋時的數學家。

連結：巴斯卡三角形的應用Ⅱ

參考文獻

1. 沈康身，《歷史數學名題賞析》，上海：上海教育出版社，2002 年。
2. 李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社，2000 年。