二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）
(The generalization of Binomial theorem（III）：the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（二）：有理數冪次

在〈二項式定理的推廣（一）〉與〈二項式定理的推廣（二）〉兩篇文章中，提到了江戶時期日本數學家（和算家）對二項式定理的推廣，包含利用無窮等比級數公式以及直觀地使用了「無窮多項式」的乘法，將二項式定理的幂次推廣至負整數的情況。並也說明他們如何利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）將二項式定理的幂次推廣至 $$1/2$$ 以及 $$1/n$$ 任意的情況。

有趣的是，江戶時期日本數學家進一步發展出各類數學「表」，用來幫助計算與推廣二項式定理，一般也作為記載數學知識之用。如表一所示，為 $$(1-x)^{-k}$$ 類二項展開式之係數表（這裡為方便讀者閱讀，筆者將原表格內容改以現代符號來表示，並受篇幅所限只列出當中的一部份），若我們僅看數字部份，則第一列的數字為 $$(1-x)^{-1}$$ 的各項係數；第二列為$$(1-x)^{-2}$$ 的各項係數；$$\cdots$$；第 $$k$$ 列為 $$(1-x)^{-k}$$ 的各項係數（然表中皆僅列到前七項）。

有了第一列之後，便可以任意地擴張整個表的內容，得到任意的 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式係數。

例如：

$$(1-x)^{-2}$$ 的 $$x^2$$ 項係數 $$3$$，便是上一列前 $$3$$ 項之和，即 $$a_{22}=a_{10}+a_{11}+a_{12}$$

$$(1-x)^{-3}$$ 的 $$x^4$$ 項係數 $$15$$，便是上一列前 $$5$$ 項之和，
即 $${a_{34}} = {a_{20}} + {a_{21}} + {a_{22}} + {a_{23}} + {a_{24}}$$

$$\cdots$$

$$(1-x)^{-k}$$ 的 $$x^n$$ 項係數，便是上一列前 $$n+1$$ 項之和，
即 $${a_{kn}} = {a_{k – 1,0}} + {a_{k – 1,1}} + {a_{k – 1,2}} +\ldots+ {a_{k – 1,n}}$$ Continue reading →

二項式定理的推廣（二）：有理數冪次
(The generalization of Binomial theorem（II）：rational power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次 

前文〈二項式定理的推廣（一）：負整數冪次〉裡，對二項式定理作了冪次上的推廣，從正整數推廣至負整數。接著，我們進行另一個推廣：有理數冪次。不過，受限於篇幅，這裡主要先討論指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式。並同樣借用江戶時期日本數學家的方法來作說明。

首先，指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式與開平方問題為一體兩面，例如 $$(1+a)^{\frac{1}{2}}$$ 可看成 $$\sqrt{1+a}$$。再者，在東方數學史發展的過程裡，$$\sqrt{1+a}$$ 之開方問題與方程式的解息息相關：若令$$x=\sqrt{1+a}$$ ，則開方求 $$x$$ 相當於求解方程式 $$x^2-(1+a)=0$$ 之實根問題。

然而，無論是傳統中算或者江戶時期的日本數學發展的過程，求解一元多項方程次時，往往利用了類似現今綜合除法的「開方法」（即賈憲－霍納法）來求方程式的數值解（相關內容與方法，可參考另一篇文章〈利用綜合除法求解多項方程式〉）。

因此，處理 $$(1+a)^{1/n}$$ 有關的展開式問題時，

便相當於求解 $$x=(1+a)^{1/n}$$，亦即求解 $$x^n-(1+a)=0$$ 的實根。

當然，若 $$1+a$$ 為實數時，我們僅需前述方法（賈憲－霍納法）便能求得其近似數值解。 Continue reading →

二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次
（The generalization of Binomial theorem（I）：negative power）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

國中數學課程裡，介紹了兩個重要的乘法公式：$$(x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2$$。
到了高一上的「數與式」單元，將這二個公式推廣至指數為三次方的情況：

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$  以及  $$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$$

到了高一下，在引進了組合相關概念後，便可一般性地討論二項式定理，將指數推廣至任意正整數次方的情況：

$${(x + y)^n} = C_0^n{x^n} + C_1^n{x^{n – 1}}y + \cdots + C_k^n{x^{n – k}}{y^k} + \cdots + C_n^n{y^n}$$

然而，當指數為有理數的情況呢？或負整數次方呢？例如 $$(x+y)^{\frac{1}{2}}$$、$$\sqrt{1\pm x}$$、$${(1 \pm x)^{ – 1}} = \frac{1}{{1 \pm x}}$$ 等問題，皆與二項式定理有關。一般在高中課程中並不特別討論其展開式。本文中，首先介紹指數為負整數的情況，接著，〈二項式定理的推廣（二）：有理數冪次〉一文中，繼續介紹指數為有理數的情況。 Continue reading →

行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）

在〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉中，介紹了萊布尼茲透過所創立的數字符號，寫出三個二元一次方程式有共同解的條件，也就是相當於今日行列式的展開式。可惜的是，萊布尼茲與羅必達的通信，直到1850年才公開。在此之前，其他數學家並不知道萊布尼茲在這方面的成就。事實上，萊布尼茲是有意要隱瞞他的發現的，根據1863年公布的史料看來，萊布尼茲可能早在1678年就已經寫出這些結論，但一直把它當作祕密保守著。無怪乎，他會在信中向羅必達表示從未向其他人透露過這個巨大的發現。

利用係數來討論方程式的解，萊布尼茲並非第一人。事實上，無論是韋達還是笛卡兒，都有這方面的成果。不過，萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數，這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在1850年才公開，但他在1700-1710年間出版的兩份文件中，就已展現這種符號的使用。 Continue reading →

行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中，中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略，接下來這系列的文章，就是為它補上一些細節。首先登場的，就是萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716)。

1693年4月28日萊布尼茲寫給羅必達 (Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, 1661-1704)的信中，開門見山地寫道：

我一定沒有解釋得很清楚，所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母，像字母一般且便利的使用。如果允許將2、3等當作a或b來使用，而不是當作真的數字，那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式，就不是6，而是ab。至於便利性，正是因為便利，所以我本身經常使用它們，特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外，甚至是用「去9法」（註一）來檢驗，我還發現使用上有一個很大的好處，就是分析。雖然這是十分巨大的發現，但我還沒有告訴任何人，以下就是這個發現。

從這封信中可看出用文字符號來的使用在當時已經是十分自然的事了，現在萊布尼茲要反其道而行，用數字來代替文字，所以，羅必達在上封信中表達了自己的疑惑。由此，也可以看出，住在法國的羅必達透過信件往返，與身在日耳曼的萊布尼茲在數學上進行跨國交流。再者，羅必達對萊布尼茲來說，必定是相當在意的人，不然，萊布尼茲怎會透露自己的巨大發現，還強調從沒告訴過任何人。無論是搞神祕還是故意吹噓，都達到引人一探究竟的效果。 Continue reading →

解聯立方程式與其幾何意義（二）
（Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, II）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：解聯立方程式與其幾何意義（一） 

在〈解聯立方程式與其幾何意義（一）〉一文裡，說明了解二元一次聯立方程式的幾何意義。接著，我們推廣至三元一次聯立方程式的情況。而其幾何意義也與空間中的平面有關。

圖一 綠色平面為通過透明平面與黃色平面之交線且與 \(xy\) 平面垂直的新平面

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解聯立方程式與其幾何意義（一）
（Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, I）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

國中階段的數學課程裡，介紹了二元一次聯立方程式的求解。到了高二（下）與「消去法」以及「矩陣列運算」相關單元裡，進一步推廣至三元一次聯立方程式的求解問題，以及相關幾何意義的判斷。不過，課程裡僅就三元一次聯立方程式的幾何意義進行討論，並未討論利用消去法求解的過程中，所涉及代數操作與幾何意義。

本文以二元一次聯立方程式的求解為例，並利用直線系的概念，說明與消去法相關的代數操作以及方程式改變過程中，所涉及的幾何意義。以下舉例說明：

解聯立方程式 \(\left\{ \begin{array}{c} x + y = 3\\ 2x – 3y = 1 \end{array} \right.\)

求解上述聯立方程式的過程裡，我們先將第(1)式乘上 \(2\) 倍，得 \(2x+2y=6\)。

接著，減去第 \((2)\) 式，得 \(5y=5\)，即 \(y=1\)，此為第 \((3)\) 式。

最後，再將 \(y=1\) 代回 \((1)\) 式可得 \(x=2\) ，

而此代入動作相當於將第 \((1)\) 式減去第 \((3)\) 式，得 \(x=2\)，得第 \((4)\) 式。 Continue reading →

標準差 (Standard Deviation)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

給定一筆資料 \(x_1\)、\(x_2\)、\(\cdots\)、\(x_n\)，算術平均數 \(\mu=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\) 一般用作為數據的代表值或衡量數據集中趨勢的統計量。雖然，算術平均數是數據重要代表值，但是可能發生下列情況：甲班與乙班某次數學考試的平均數皆為 \(50\) 分，但甲班同學的成績皆分佈在 \(40-60\) 分之間，而乙班約一半的學生都是 \(90\) 分以上，另一半學生都是個位數。這樣來看，這兩班的成績雖有相同的「中心」，即算術平均數，但它們整體的分散、分佈、變異情況大不相同。此時「\(50\) 分」這個數字之於兩班成績的意義以及可解釋數據的程度亦不同。 Continue reading →