- 位值計數系統（Positional numeration system） 2011/04/07
位值計數系統（Positional numeration system）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯本文介紹位值記數系統的意義。
所謂的位值計數系統，必需滿足下列的條件：
- 任何比 $$1$$ 大的自然數都可以用來當作基底 (base )。
- 對於所有小於基底的整數，需要有一組互異的對應符號（當然包括 $$0$$）。譬如在以 $$10$$ 為基底的十進位值記數系統中，顯然需要一組包括 $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ 和 $$9$$ 等數碼符號。
- 乘法位值法則 ( multiplicative place- value principle )：被寫在特別位置的位數（digit）表徵了這個位數所代表的數目（number）與對應於該位數的位置之基底的乘冪之乘積。譬如，$$3152$$ 中的位數 $$5$$ 即是代表了 $$5$$ 與 $$10^2$$ 之乘積，因為 $$5$$ 是十位數，所以基底 $$10$$ 必須取 $$2$$ 乘冪。
- 加法法則 ( additive principle )：一個給定數碼所表徵的數目，即為 $$(3)$$ 之中所有乘積之總和。
- 延拓此一系統以包含分數的想法。
- 使用符號 (一個點或逗號) 來區別任一個數碼的整數部份與分數部份之想法。譬如 $$3+(1/10)$$ 可以表示為 $$3.1$$ 或 $$3,1$$。
- 斐波那契(Fibonacci)及其兔子 2011/03/31
斐波那契及其兔子 (Fibonacci and his rabbits)
臺北市教育大學數學與資訊學系蘇意雯助理教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯本文介紹斐波那契(Leonardo Bonacci) 的生平及其著作，希望讀者得以理解他的《計算書》之創作背景。
一般人（包括科普作者）提及斐波那契時，都會引述以他的名字命名的數列 $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$ 如何與兔子繁殖相關。不過，他的數學著作內容與名字之來源，恐怕就很少人留意。現在，我們就先澄清這兩個問題。
首先，科普作家當然都會提及斐波那契在1202年出版的名著《計算書》(Liber abbci)。然而，這本書一直都被誤解為討論算盤的書籍。這可能是因為它的拉丁文名銜 Liber abbci 直譯成英文，就是“Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的「算盤書」了。 Continue reading →
- 費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem） 2011/03/31
費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯費馬最後定理是一個響叮噹的名字，本文提供一個簡要的故事版本，希望有助於理解此一定理的解決過程之歷史意義。
費馬最後定理當然跟費馬有關，請先看費馬的故事。
費馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）是數學史上公認最偉大的業餘數學家。他年輕時他就讀法學院，後來擔任法國城市土魯斯（Toulouse）的市議員。隨著經歷與職位的提升，最後成為土魯斯刑事法庭的成員。作為一位法官，費馬被大家認為頭腦清楚，但時常心不在焉。
從上述這個有關費馬生涯的片段，完全看不出為何直至今日我們仍會紀念他與談論他。我們會這麼做的理由，當然與他生命的另一面向有關。在費馬人生的某一時間點，或許是他在波爾多（Bordeaux）就讀大學的時候，他發現了數學，而這個發現成為他寄託終生的熱情所在。
- 皮亞諾公設(Peano axiom) 2011/03/31
皮亞諾公設(Peano axiom)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯自然數的皮亞諾公設是數系的發展基礎，它簡要地說明了數學是一種基於公設的邏輯結構。
自然數的理論基礎，是數系發展的邏輯起點，對於十九世紀開始大力追求分析學嚴密化的數學家而言，當然至為重要。不過，這有賴於集合理論的系統性發展以及對於基數(cardinal number) 概念的進一步澄清，而這些都必須等到十九世紀後期康托爾 (Georg Cantor) 的相關研究之後，才開始萌芽。- 邏輯循環謬誤（On Circular fallacy） 2011/03/31
邏輯循環謬誤（On Circular fallacy）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯有關邏輯的循環謬誤出現在非常基本的命題論證，本文提供了一般人視為理所當然的例子，供教師參考與借鑑。
美國加州公立數學課程綱要K-12的「論理嚴密」，一向廣受國內數學家推崇：因為他們指出：「數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟(intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。」 Continue reading →
- 無限與集合論（The infinite and set theory） 2011/03/31
無限與集合論（The infinite and set theory）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯集合論不只是集合的簡單運算而已，康托爾的創立此一理論之初衷，是想要藉此探索無限作為一個物件的特性。
「無限」可以區分大小等級，這是幾乎不可能想像得到的事物，因為這預設了無限可以視同為一種數學物件（mathematical object）。然而，數學史上如高斯這樣偉大的數學家都曾經只能將無限視為一種過程（process），無怪乎利用集合來表徵無限集體的康托爾（Georg Cantor），會在十九世紀下半葉，遭受到數學界那麼巨大的反撲！事實上，無限作為一個不會結束的過程之想法，很久以來一直是個有用的數學工具。古希臘人據以處理不可公度的量以及求曲線形面積的「窮盡法」，乃至於微積分基礎概念－極限－的底層憑藉，都離不開無限的概念。然而，處理物件的無限集體，則是相當新穎的數學活動。 Continue reading →
- 數學家傳記及其教學之反思（On biography of mathematicians and its use in classroom） 2011/03/31
數學家傳記及其教學之反思（On biography of mathematicians and its use in classroom）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯數學家傳記是很好的數學教學題材，本文針對教材選擇與教學策略，提供一些初步的建議。
一般而言，專業數學史家出版學術性的數學家傳記，都不是為了普及的目的。不過，目前倒是有頗多的數學家傳記，卻是由科普作家所出版，其創作關懷值得我們推薦。
就出版記錄來看，Eric T. Bell似乎最早使用數學家傳記作為一種（普及）策略，特別是生動的軼事，以方便引介這些數學家的發現成果給社會大眾，他的《大數學家》(Men of Mathematics)，儘管不無誇張渲染或扭曲史實，仍然吸引頗多讀者的注意。
- 非歐幾何（Non-Euclidean geometry） 2011/03/31
非歐幾何（Non-Euclidean geometry）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯本文簡要說明非歐幾何的歷史發展，及其與《幾何原本》第五設準之關連。
歐幾里得對平面幾何的系統化處理實在相當完備，以致於經過兩千年以上的時間，吾人才得以揭開一層蓋在歐氏幾何中心地帶的神秘面紗。而此一揭示，就導出了非歐幾何學，繼而對於所謂的「真實幾何」帶來了革命性的衝擊，永遠改變我們的數學真理信仰。
整個故事要從歐幾里得的第五設準說起：「一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。」