實數的三角不等式 (Triangle Inequality for Real Numbers)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

若 \(a,b\) 為實數，\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)，“\(=\)”成立時，\(ab\ge 0\)。(此不等式可以利用三角形的兩邊之和大於第三邊來理解，因此，稱之為三角不等式。)

證明：

因為 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 0,~\left| {a + b} \right| \ge 0\)，直接相減或相除無法順利運算，因此，考慮平方相減

\(\begin{array}{ll}{\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} – {\left| {a + b} \right|^2} &= \left( {{{\left| a \right|}^2} + 2\left| a \right|\left| b \right| + {{\left| b \right|}^2}} \right) – {\left( {a + b} \right)^2}\\&= \left( {{a^2} + 2\left| {ab} \right| + {b^2}} \right) – ({a^2} + 2ab + {b^2})\\&= 2\left( {\left| {ab} \right| – ab} \right) \ge 0\end{array}\)

因此，\({\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge {\left| {a + b} \right|^2}\)，即 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

“\(=\)”成立時， 即 \(\left| {ab} \right| – ab = 0\)移項得 \(\left| {ab} \right| = ab\)，\(\therefore ab\ge 0\)。

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畢氏定理(Pythagoras Theorem)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

已知：直角三角形 $$ABC$$，其中 $$\angle BAC=90^\circ$$，

而 $$\overline{AB}=c$$，$$\overline{BC}=a$$，$$\overline{CA}=b$$。

求證 $$a^2+b^2=c^2$$。

證明：

方法一：《幾何原本》作法

由直角 $$C$$ 往斜邊 $$\overline{AB}$$ 作直線，交 $$\overline{AB}$$ 邊於 $$K$$ 點，交 $$\overline{GF}$$ 邊於 $$J$$ 點。只要證明正方形 $$ACDE$$ 的面積等於長方形 $$AKJG$$ 的面積；正方形 $$BCHI$$ 的面積等於長方形 $$BKJF$$ 的面積，便完成畢氏定理的證明。 Continue reading →

輾轉相除法(I) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

歷史溯源：歐幾里得(Euclid,ca.325BC-ca.265BC)(如右圖)的《幾何原本(Elements)》第七卷的第一、二個命題論述如何用輾轉相除法求兩整數的最大公因數，因此，輾轉相除法又稱歐幾里得算法。

狄里克利(Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859)在他的《數論》一書中說「本書的整個結構奠定在一塊基石上面，即計算兩個整數的最大公因數(輾轉相除法)。」利用這個方法，可以較快地求出兩個自然數的最大公因數，稱為 g.c.d.(greatest common divisior)^[1]。 所謂最大公因數，是指幾個數的共有的因數之中最大的一個，例如：8和12的最大公因數是4，記作 g.c.d.(8,12)=4。 Continue reading →

矩陣的運算（Operations of Matrices）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹矩陣的加法、減法、係數積，以及如何操作矩陣的乘法。

矩陣的加法與減法

當兩個矩陣的列數相等，行數也相等時，我們就稱它們為「同階矩陣」。

例如 $$M = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right]$$ 與 $$N = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]$$ 同為 $$2\times 3$$ 階矩陣。

同階矩陣我們才能做加法與減法，方法很直觀，就是相同位置的元相加或相減，例如：

$$\begin{array}{ll}M + N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1 + }}1{\rm{0}}}&{{\rm{2 + }}2{\rm{0}}}&{{\rm{3 + }}3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4 + }}4{\rm{0}}}&{{\rm{5 + }}5{\rm{0}}}&{{\rm{6 + }}6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]\\&= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{1}}}&{2{\rm{2}}}&{3{\rm{3}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{4}}}&{5{\rm{5}}}&{6{\rm{6}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}M – N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] – \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1}} – 1{\rm{0}}}&{{\rm{2}} – 2{\rm{0}}}&{{\rm{3}} – 3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4}} – 4{\rm{0}}}&{{\rm{5}} – 5{\rm{0}}}&{{\rm{6}} – 6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right] \\&=\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {\; – \;{\rm{9}}}&{ – {\rm{18}}}&{ – {\rm{27}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} { – {\rm{36}}}&{ – {\rm{4}}5}&{ – {\rm{54}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

用符號來表示就是 $$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，$$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，

則 $$A+B = {\left[ a_{ij}+b_{ij} \right]_{m \times n}}$$，$$A-B = {\left[ a_{ij}-b_{ij} \right]_{m \times n}}$$。

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數學歸納法(Mathematical induction)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

談論數學歸納法 (mathematical induction)，就必須提及義大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano, 1858-1932) 的五個公設。他總結了自然數的有關性質，提出五條公理，後人稱之為「自然數的皮亞諾公理」，其內容如下：

\((1)\)  \(1\) 是一個自然數。

\((2)\)  \(1\) 不是任何其他自然數的後繼數。¹

\((3)\)  每一個自然數 \(a\) 都有一個後繼數。

\((4)\)  如果 \(a\) 與 \(b\) 的後繼數相等，則 \(a\) 與 \(b\) 亦相等。

\((5)\)  若一個由自然數組成的集合 \(s\) 包含有 \(1\)，又若當 \(s\) 包含有某一數 \(a\) 時，它一定也含有 \(a\) 的後繼數，則 \(s\) 就包含有全體自然數。

上述第5條即所謂的「數學歸納法的原理」，也就是目前中學生所熟悉的解題模式(problem-solving module) 之依據，²其步驟如下：

1. 證明當取第一個元素 \(n_0\) 時(起始元素)，原式成立。
2.1 假設 \(n =k~(k\ge n_0)\) 時(中繼元素)，原式成立。
2.2 利用 2.1 證明 \(n = k + 1\) 時(後繼元素)，原式成立。³

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克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式（Cramer’s Rule, Part 2: Cramer’s Original Rule）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪在其書中所呈現的公式，與今日的克拉瑪公式在表現方式上並不相同。

連結：克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹

原來的克拉瑪公式

在沒有行列式的輔佐下，克拉瑪只能逐項寫出，但他給出一個很有趣的法則來寫出聯立方程組的解公式。

以下利用 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的一次聯立方程組說明克拉瑪的方法：

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y + {c_{ 1}}z = {d_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y + {c_{ 2}}z = {d_{ 2}}\\ {a_{ 3}}x + {b_{ 3}}y + {c_{ 3}}z = {d_{ 3}} \end{array} \right.\\\Rightarrow \displaystyle x = \frac{{{d_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {d_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {d_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {d_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {d_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {d_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\) Continue reading →

克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹（Cramer’s Rule, Part 1: Cramer’s Life and Writings）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪公式及克拉瑪的生平、著作。

現在的克拉瑪公式

在求一次聯立方程組之解時，最常提及的解公式就是「克拉瑪公式」。以二元一次聯立方程組與三元一次聯立方程組為例：

\((1)\) 給定 \(x\)、\(y\) 的一次聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y = {c_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y = {c_{ 2}} \end{array} \right.\)

令 \(\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} } \right|\)。

則當 \(\Delta \ne 0\) 時，\(\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\)，\(\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\) Continue reading →

各式聯立方程組的程序性解法 (2)：中國的版本
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Chinese Versions）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹程大位《算法統宗》的「二色方程歌」，這相當於二元一次聯立方程組程序性解法。

連結：各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾

《九章算術》的〈方程〉章

中國最早的解聯立方程組的法，記載在《九章算術》的最後一章〈方程〉之中。由於這方法與算籌操作完美地配合，使得中國數學在解方程式的這一領域，顯得十分的單調。在明末以前，大抵就只有劉徽提出略為改良的「方程新術」而已。《九章算術》中的解法，本網站中蘇俊鴻老師所寫的〈矩陣的高斯消去法〉一文已有詳細的說明，在此不再贅述，請讀者自行參閱該文。接下來將介紹明朝《算法統宗》的「二色方程歌」。

《算法統宗》的「二色方程歌」

程大位，字汝思，號賓渠，生於明朝嘉靖12年（西元1533年），卒於明朝萬曆34年（西元1606年）。關於程大位的生平記載並不多，據稱他年少時聰穎而好學，除了讀儒家書外，更嗜書法與數學。二十歲外出經商後，更不忘四處搜羅有關的字帖及書籍。他的長輩程時用稱他「凡客遊湖海，遇古其文字及算數諸書，則購而玩之，齋心一志，至忘寢食。」數學書與書法帖被並稱「購而玩之」，可見在當時數學的地位與技藝相去不遠。不同於長輩認為的數學僅是玩物，程大位自己十分注重對數學的鑽研，他說：

予幼耽習是學，弱冠商游吳楚遍訪明師，繹其文義，審至成法。

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