初等的機率論（5）有限機率空間
（Elementary Probability Theory-5. Finite Probability Space）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（4）機率論的甕模型

摘要：這裡針對隨機實驗所有可能出現結果為有限個的情形，探討其機率模型，並給出古典機率的定義，根據此定義及其衍伸的演算規則，舉出四個例子略作說明。

機率論研究的是隨機現象，例如丟銅板、骰子、量子力學、天氣、統計物理、命運、股票之漲跌、經濟的波動、…等等。機率論又是數理統計學與統計物理學與量子力學的基礎。

面對一個隨機現象，首先是對一個隨機現象作隨機實驗，可能是真的做實驗，也可能只是作個觀察（如天氣現象）。隨機實驗會發生什麼結果，事前說不準（uncertainty）。一個事件的發生與否也說不準，於是採用機率的語言來描述事件發生的可能性之大小，例如我們常聽說：明天下雨的機率是 $$30{\%}$$（$$= 0.3$$）；丟一個公正銅板出現正面的機率是 $$1/2$$；丟一個骰子出現三點的機率是 $$1/6$$。 Continue reading →

初等的機率論（4）機率論的甕模型
（Elementary Probability Theory-4. Urn Model for Probability Theory）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（3）兩個重要的不等式

摘要：本文從「機率論是虛，記述統計是實」的論點出發，以實例引導我們從「記述統計」進入「機率論」的世界。

現在我們先把主題點出來：機率論和記述統計，幾乎完全一樣！只是一虛一實而已。機率論是虛，記述統計是實。

為了說明這一點，我們就想像這種情形：我把去年學生的成績做了完整的記錄，將每一位學生都想像為一個球 $$\omega_k$$，並且寫上該生的分數 $$x_k$$，全部裝到一個甕（urn）$$\Omega$$ 之中，於是有 $$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_N\}$$，這叫做樣本空間（sample space）。 Continue reading →

初等的機率論（3）兩個重要的不等式
（Elementary Probability Theory-3. Two Important Inequalities）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（2）代表值與參差度

摘要：本篇介紹「機率論」裡兩個重要的不等式：「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」，讓我們更深入理解如何由「平均」與「標準差」知道資料分佈的狀態。

利用上述記述統計的簡單例子，我們馬上可以導出機率論裡兩個非常重要的不等式：Markov 不等式與 Chebyshev 不等式。它們是推導出（弱）大數法則之根據。 Continue reading →

初等的機率論（2）代表值與參差度
（Elementary Probability Theory-2. Various Means and Dispersion）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（1）母群體與統計變量

摘要：延續上篇的討論，本篇針對「記述統計學」面臨的兩個基本問題，介紹了代表整體數據的「算術平均（arithmetic mean）」、以及衡量代表值好壞的「變異數（variance）」或「標準差（standard deviation）」。

記述統計學最初的問題，可以很具體地來說明。如果校長問我：「他們這次期中考的成績怎麼樣？」，我該怎麼報告？給他整堆數據 $$\{x_1,x_2,\dots,x_N\}$$ 是無用的。

對於學生的家長我要答以他子女的成績就好了。對於校長，個別學生的成績他沒興趣聽，他要知道的是全班的概況，例如最重要卻也是最起碼的兩件事： Continue reading →

初等的機率論（1）母群體與統計變量
（Elementary Probability Theory-1. Population and Statistical variable）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

摘要：這一系列「初等的機率論」文章共有十篇，本文是第一篇，先從「記述統計學（Descriptive Statistics）」的角度出發，介紹母群體與統計變量的關係。

世界上到處都可以見到隨機現象（random phenomena），所謂隨機現象是指事先說不準會發生什麼結果（outcome）的現象。機率論（Probability theory）就是要定量地來研究隨機現象的一門數學。機率論最早發源於賭局（game of chance），賭徒想要知道輸贏的機率，以及有無必勝法。

機率論的另一個發源地是記述統計學（Descriptive Statistics, 又譯成敘述統計學）。了解記述統計學的概念，對於機率論的學習，大有助益，因為前者是具體的，易懂的，後者是抽象的，虛玄的。由具體走到抽象是一條不錯的道路。

最終，機率論又成為推理統計學的理論基礎。在隨機的說不準中，我們還是要以機率的語言，透過機率法則，定量地來述說我們感興趣的事件之機率。

因此，我們就先從記述統計學談起。 Continue reading →

推理能力是天生的嗎？（二）(Is Inference Competency Innate？II)
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

連結：推理能力是天生的嗎？（一） 

摘要：本文說明演化心理學所提供的負面證據，說明人類在論證時，空有論證形式，可能更關心利益之衝突。

本篇要來揭曉上一篇的答案，三個例子的答案都是最左邊和最右邊的卡。看看你的答案是不是正確，或者看看你所花的時間，那個例子花了你比較長的時間。

事實上，這三個試驗的邏輯結構完全一樣，試驗中的規定都是「若 P 則 Q」的形式，從左到右的卡都是「P」「~P」「Q」「~Q」的選樣。而違反「若 P 則 Q」的結果，由命題邏輯知道是「P 且 ~Q」（或寫成 P 真且 Q 假）的情況，因此必須兩面檢查的都是最左邊的 P 與最右邊的 ~Q。 Continue reading →

推理能力是天生的嗎？（一）（Is Inference Competency Innate？I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

摘要：成人的爭辯經常荒腔走板，人類真的有天賦的推理能力嗎？演化心理學提供有趣的試驗。

兒童到小學階段，學習語言的能力非常快，不管父母是來自什麼種族，只要他在在另一個種族文化的環境下長大，就可以迅速並全面的學習他們的語言。相較於成人學習語言的緩慢與無效率，小孩子的語言能力幾乎是一個奇蹟。由於這個現象舉世皆然，和文化因素並無關係，因此普遍相信是來自於人類演化的結果，屬於內凜的天賦。語言學家Chomsky更為此，發展了他期望可以一統所有語言的「生成文法」（generative grammar），來說明這個事實。 Continue reading →

抓氣球的遊戲(the game of chomp)
國立台灣師範大學數學系許志農教授/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

這裡要介紹的這道遊戲，有人稱它為 Chomp 的遊戲。我是在北一女演講時，想要做科展的學生問我這道遊戲，才知道這道有趣的遊戲。事實上，學生們也是從許介彥教授的一篇文章裡得知 Chomp 這道遊戲。數學概念「對稱」隱藏在這道遊戲裡，希望玩者可以很快的掌握這道「對稱之美」的遊戲。 Continue reading →